ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 33

а) $\sin \frac{\pi x}{3} (\lg(x + 5) + \lg(400 - x)) = 0$ 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x + 5 > 0, \\ 400 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -5, \\ x < 400 \end{cases} \iff x \in (-5; 400). $$ 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю (с учетом ОДЗ): - Первый случай: $$ \sin \frac{\pi x}{3} = 0 \implies \frac{\pi x}{3} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = 3k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Определим, сколько корней этой серии принадлежит интервалу $(-5; 400)$: $$ -5 < 3k < 400 \iff -\frac{5}{3} < k < \frac{400}{3} \iff -1\frac{2}{3} < k < 133\frac{1}{3}. $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$, получаем: $$ k \in \{-1; 0; 1; \dots; 133\}. $$ Количество целых значений $k$: $$ 133 - (-1) + 1 = 135. $$ - Второй случай: $$ \lg(x + 5) + \lg(400 - x) = 0 \implies \lg((x + 5)(400 - x)) = 0 $$ $$ (x + 5)(400 - x) = 10^0 $$ $$ -x^2 + 395x + 2000 = 1 \iff x^2 - 395x - 1999 = 0. $$ Дискриминант: $$ D = (-395)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1999) = 156025 + 7996 = 164021 > 0. $$ Корни уравнения: $$ x_{1,2} = \frac{395 \pm \sqrt{164021}}{2}. $$ Так как $404^2 = 163216 < 164021 < 164025 = 405^2$, то: $$ \sqrt{164021} \in (404; 405). $$ Проверим принадлежность ОДЗ: - для $x_1$: $-5 < \frac{395 - \sqrt{164021}}{2} < \frac{395 - 404}{2} = -4,5$, значит, $x_1 \in (-5; 400)$; - для $x_2$: $399,5 = \frac{395 + 404}{2} < \frac{395 + \sqrt{164021}}{2} < \frac{395 + 405}{2} = 400$, значит, $x_2 \in (-5; 400)$. Оба корня иррациональны, поэтому они не совпадают с целыми корнями $x = 3k$. Общее число корней: $135 + 2 = 137$. Ответ: 137. --- б) $\cos \frac{\pi (x - 3)}{2} \sqrt{\left(\frac{x}{4} - 1\right)\left(200 - \frac{3x}{2}\right)} = 0$ 1. Найдем ОДЗ (подкоренное выражение должно быть неотрицательным): $$ \left(\frac{x}{4} - 1\right)\left(200 - \frac{3x}{2}\right) \ge 0 \iff \frac{x - 4}{4} \cdot \frac{400 - 3x}{2} \ge 0 $$ $$ (x - 4)(3x - 400) \le 0 \iff 4 \le x \le \frac{400}{3} \iff x \in \left[4; 133\frac{1}{3}\right]. $$ 2. Корни подкоренного выражения обращают произведение в ноль: $$ x_1 = 4, \quad x_2 = \frac{400}{3} = 133\frac{1}{3}. $$ 3. Приравняем к нулю первый множитель: $$ \cos \frac{\pi (x - 3)}{2} = 0 \implies \frac{\pi (x - 3)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x - 3 = 1 + 2k \implies x = 4 + 2k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Проверим, при каких целых $k$ корни принадлежат отрезку $\left[4; 133\frac{1}{3}\right]$: $$ 4 \le 4 + 2k \le 133\frac{1}{3} \iff 0 \le 2k \le 129\frac{1}{3} \iff 0 \le k \le 64\frac{2}{3}. $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$: $$ k \in \{0; 1; 2; \dots; 64\}. $$ Всего $64 - 0 + 1 = 65$ значений. При $k = 0$ получается корень $x = 4$, который совпадает со значением $x_1$. Корень $x_2 = 133\frac{1}{3}$ является дробным числом и не совпадает ни с одним из целых значений $x = 4 + 2k$. Общее число различных корней: $65 + 1 = 66$. Ответ: 66. --- в) $\sin \frac{\pi x}{4} (\lg(x + 3) + \lg(300 - x)) = 0$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \begin{cases} x + 3 > 0, \\ 300 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > -3, \\ x < 300 \end{cases} \iff x \in (-3; 300). $$ 2. Произведение равно нулю (с учетом ОДЗ): - Первый случай: $$ \sin \frac{\pi x}{4} = 0 \implies \frac{\pi x}{4} = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = 4k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Принадлежность интервалу $(-3; 300)$: $$ -3 < 4k < 300 \iff -\frac{3}{4} < k < 75 \implies k \in \{0; 1; 2; \dots; 74\}. $$ Количество целых значений $k$: $$ 74 - 0 + 1 = 75. $$ - Второй случай: $$ \lg(x + 3) + \lg(300 - x) = 0 \implies (x + 3)(300 - x) = 1 $$ $$ -x^2 + 297x + 900 = 1 \iff x^2 - 297x - 899 = 0. $$ Дискриминант: $$ D = (-297)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-899) = 88209 + 3596 = 91805 > 0. $$ Корни уравнения: $$ x_{1,2} = \frac{297 \pm \sqrt{91805}}{2}. $$ Так как $302^2 = 91204 < 91805 < 91809 = 303^2$, то $\sqrt{91805} \in (302; 303)$. - Для $x_1$: $-3 < \frac{297 - 303}{2} < x_1 < \frac{297 - 302}{2} = -2,5$, значит, $x_1 \in (-3; 300)$; - Для $x_2$: $299,5 = \frac{297 + 302}{2} < x_2 < \frac{297 + 303}{2} = 300$, значит, $x_2 \in (-3; 300)$. Оба корня иррациональны и не совпадают с кратными четырем целыми корнями. Общее число корней: $75 + 2 = 77$. Ответ: 77. --- г) $\cos \frac{\pi (x - 2)}{4} \sqrt{\left(\frac{x}{8} + 1\right)\left(150 - \frac{2x}{3}\right)} = 0$ 1. Найдем ОДЗ: $$ \left(\frac{x}{8} + 1\right)\left(150 - \frac{2x}{3}\right) \ge 0 \iff \frac{x + 8}{8} \cdot \frac{450 - 2x}{3} \ge 0 $$ $$ (x + 8)(2x - 450) \le 0 \iff (x + 8)(x - 225) \le 0 \iff x \in [-8; 225]. $$ 2. Корни подкоренного выражения: $$ x_1 = -8, \quad x_2 = 225. $$ 3. Приравняем к нулю косинус: $$ \cos \frac{\pi (x - 2)}{4} = 0 \implies \frac{\pi (x - 2)}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x - 2 = 2 + 4k \implies x = 4 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z}. $$ Проверим принадлежность отрезку $[-8; 225]$: $$ -8 \le 4 + 4k \le 225 \iff -12 \le 4k \le 221 \iff -3 \le k \le 55,25. $$ Так как $k \in \mathbb{Z}$: $$ k \in \{-3; -2; -1; \dots; 55\}. $$ Количество целых значений $k$: $$ 55 - (-3) + 1 = 59. $$ При $k = -3$ получаем $x = 4 + 4(-3) = -8$, что совпадает со значением $x_1$. Корень $x_2 = 225$ является нечетным числом и не входит в серию четных чисел $x = 4 + 4k$. Общее число различных корней: $59 + 1 = 60$. Ответ: 60.