ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 9 - 22

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель определён и отличен от нуля. Так как знаменатель содержит квадратный корень, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля: $$ \frac{f(x)}{\sqrt{g(x)}} = 0 \iff \begin{cases} f(x) = 0, \\ g(x) > 0. \end{cases} $$ --- ### a) $$ \frac{2x^2 + x - 15}{\sqrt{4x^2 - 2x + 25}} = 0 $$ Составим и решим систему: $$ \begin{cases} 2x^2 + x - 15 = 0, \\ 4x^2 - 2x + 25 > 0. \end{cases} $$ 1. Решим квадратное уравнение числителя: $$ 2x^2 + x - 15 = 0 $$ $$ D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{-1 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-1 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 $$ 2. Проверим условие для знаменателя $4x^2 - 2x + 25 > 0$. Дискриминант этого трёхчлена: $$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 4 - 400 = -396 < 0 $$ Так как старший коэффициент $4 > 0$ и $D < 0$, неравенство выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$. Оба найденных корня подходят. *(Примечание: если в условии опечатка и в знаменателе стоит выражение $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$, то условие $(2x - 5)^2 > 0$ требует $x \neq 2{,}5$, и корень $x = 2{,}5$ является посторонним. В этом случае корнем будет только $x = -3$.)* Ответ: $-3$; $2{,}5$ (при знаменателе $\sqrt{4x^2 - 20x + 25}$ ответ: $-3$). --- ### b) $$ \frac{2x^2 + 9x - 18}{\sqrt{4x^2 - 12x + 9}} = 0 $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 2x^2 + 9x - 18 = 0, \\ 4x^2 - 12x + 9 > 0. \end{cases} $$ 1. Решим квадратное уравнение числителя: $$ 2x^2 + 9x - 18 = 0 $$ $$ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $$ $$ x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5 $$ $$ x_2 = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6 $$ 2. Проверим условие для знаменателя. Заметим, что подкоренное выражение представляет собой квадрат двучлена: $$ 4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2 $$ Неравенство $(2x - 3)^2 > 0$ выполняется при всех $x$, кроме тех, при которых основание квадрата обращается в ноль: $$ 2x - 3 \neq 0 \implies x \neq 1{,}5 $$ Значит, корень $x_1 = 1{,}5$ — посторонний. Корень $x_2 = -6$ удовлетворяет условию, так как $(2 \cdot (-6) - 3)^2 = (-15)^2 = 225 > 0$. Ответ: $-6$. --- ### c) $$ \frac{3x^2 - 10x - 8}{\sqrt{9x^2 + 12x + 4}} = 0 $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x^2 - 10x - 8 = 0, \\ 9x^2 + 12x + 4 > 0. \end{cases} $$ 1. Решим квадратное уравнение числителя: $$ 3x^2 - 10x - 8 = 0 $$ $$ D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2 $$ $$ x_1 = \frac{10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} $$ 2. Проверим условие для знаменателя. Подкоренное выражение сворачивается по формуле квадрата суммы: $$ 9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2 $$ Неравенство $(3x + 2)^2 > 0$ истинно при: $$ 3x + 2 \neq 0 \implies x \neq -\frac{2}{3} $$ Корень $x_2 = -\frac{2}{3}$ обращает знаменатель в ноль и является посторонним. Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию: $(3 \cdot 4 + 2)^2 = 14^2 = 196 > 0$. Ответ: $4$. --- ### d) $$ \frac{3x^2 - 19x + 20}{\sqrt{9x^2 - 24x + 16}} = 0 $$ Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} 3x^2 - 19x + 20 = 0, \\ 9x^2 - 24x + 16 > 0. \end{cases} $$ 1. Решим квадратное уравнение числителя: $$ 3x^2 - 19x + 20 = 0 $$ $$ D = (-19)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 20 = 361 - 240 = 121 = 11^2 $$ $$ x_1 = \frac{19 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5 $$ $$ x_2 = \frac{19 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$ 2. Проверим условие для знаменателя. Преобразуем подкоренное выражение: $$ 9x^2 - 24x + 16 = (3x - 4)^2 $$ Неравенство $(3x - 4)^2 > 0$ выполняется при: $$ 3x - 4 \neq 0 \implies x \neq \frac{4}{3} $$ Следовательно, корень $x_2 = \frac{4}{3}$ является посторонним. Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию: $(3 \cdot 5 - 4)^2 = 11^2 = 121 > 0$. Ответ: $5$.