ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 6

**а)** При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в чётную степень $2k$ ($k \in \mathbb{N}$) получается уравнение: $$ (f(x))^{2k} = (g(x))^{2k} $$ Преобразуем его, перенеся все члены в левую часть: $$ (f(x))^{2k} - (g(x))^{2k} = 0 $$ В частности, при $k = 1$ (возведение в квадрат): $$ (f(x))^2 - (g(x))^2 = 0 \iff (f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0 $$ Отсюда следует, что полученное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: $$ f(x) = g(x) \quad \text{или} \quad f(x) = -g(x) $$ Таким образом, уравнение $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ удовлетворяется не только теми значениями $x$, для которых $f(x) = g(x)$, но и теми, для которых $f(x) = -g(x)$. Если существуют такие значения переменной $x$, при которых $f(x) = -g(x) \ne 0$, то они будут корнями полученного уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, но не будут являться корнями исходного уравнения $f(x) = g(x)$. Такие корни являются для исходного уравнения посторонними. --- **б)\*** **Утверждение:** 1. При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в натуральную степень $n$ получается уравнение-следствие $(f(x))^n = (g(x))^n$. 2. Если обе части уравнения $f(x) = g(x)$ неотрицательны на некотором множестве $X$ (то есть $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ при всех $x \in X$), то на множестве $X$ уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$, где $k \in \mathbb{N}$. **Доказательство:** 1. Пусть $x_0$ — произвольный корень уравнения $f(x) = g(x)$. Это означает, что числовое равенство $f(x_0) = g(x_0)$ является верным. По свойствам числовых равенств, при возведении обеих частей верного числового равенства в любую степень $n \in \mathbb{N}$ получается верное равенство: $$ (f(x_0))^n = (g(x_0))^n $$ Следовательно, $x_0$ является корнем уравнения $(f(x))^n = (g(x))^n$. Значит, всякий корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $(f(x))^n = (g(x))^n$, то есть уравнение $(f(x))^n = (g(x))^n$ является следствием исходного. 2. Докажем теперь, что если $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$ на множестве $X$, то любой корень $x_0 \in X$ уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Пусть $x_0 \in X$ — корень уравнения $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$. Тогда верно равенство: $$ (f(x_0))^{2k} - (g(x_0))^{2k} = 0 $$ Воспользуемся формулой разности $m$-х степеней для $a = f(x_0)$ и $b = g(x_0)$ при $m = 2k$: $$ (f(x_0) - g(x_0))\cdot \Big((f(x_0))^{2k-1} + (f(x_0))^{2k-2}g(x_0) + \dots + (g(x_0))^{2k-1}\Big) = 0 $$ Так как $x_0 \in X$, то $f(x_0) \ge 0$ и $g(x_0) \ge 0$. - Если $f(x_0) = g(x_0) = 0$, то равенство $f(x_0) = g(x_0)$ выполняется. - Если хотя бы одно из чисел $f(x_0)$ или $g(x_0)$ строго больше нуля, то выражение во второй скобке является суммой неотрицательных слагаемых, среди которых есть строго положительные, а значит, вся вторая скобка строго больше нуля. Разделив на неё обе части равенства, получаем: $$ f(x_0) - g(x_0) = 0 \iff f(x_0) = g(x_0) $$ Следовательно, на множестве $X$ уравнения $f(x) = g(x)$ и $(f(x))^{2k} = (g(x))^{2k}$ имеют одни и те же корни, то есть они равносильны на $X$. Утверждение доказано. --- **в)** **Иррациональным** называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала) или под знаком степени с дробным (нецелым) показателем. Основные методы решения иррациональных уравнений: 1. **Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень** (метод избавления от радикалов). При возведении в чётную степень получают уравнение-следствие, поэтому в конце решения необходимо выполнить проверку полученных корней подстановкой в исходное уравнение (либо на каждом шаге осуществлять равносильные переходы с учётом области допустимых значений и условий неотрицательности выражений). 2. **Метод введения новой переменной** (замена переменной): одинаковые выражения, содержащие корень, заменяют новой переменной, что сводит исходное уравнение к более простому алгебраическому (рациональному). 3. **Функционально-графический метод**: использование свойств монотонности, непрерывности, а также областей значений функций, входящих в уравнение. Например, если в уравнении $f(x) = g(x)$ функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то уравнение имеет не более одного корня, который нередко можно найти подбором.