ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 8 - 10

**a)** Решим уравнение $\sqrt{\log_2^2 x + 3} = \log_2 x - 1$. Область допустимых значений: $x > 0$. Пусть $t = \log_2 x$. Перепишем уравнение относительно $t$: $$ \sqrt{t^2 + 3} = t - 1 $$ Данное иррациональное уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} t - 1 \ge 0 \\ t^2 + 3 = (t - 1)^2 \end{cases} $$ Раскроем скобки во втором уравнении: $$ t^2 + 3 = t^2 - 2t + 1 $$ $$ 2t = -2 $$ $$ t = -1 $$ Проверим условие $t - 1 \ge 0$: при $t = -1$ получаем $-1 - 1 = -2 \ge 0$ — неверно. Следовательно, уравнение не имеет решений. Ответ: корней нет. --- **b)** Решим уравнение $\sqrt{4^{x+1} - 2^{x+1} - 3} = 2^x + 1$. Преобразуем степени с основанием 2: $4^{x+1} = 4 \cdot (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда уравнение принимает вид: $$ \sqrt{4t^2 - 2t - 3} = t + 1 $$ Так как $t > 0$, правая часть $t + 1 > 0$ при всех допустимых $t$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$ 4t^2 - 2t - 3 = (t + 1)^2 $$ $$ 4t^2 - 2t - 3 = t^2 + 2t + 1 $$ $$ 3t^2 - 4t - 4 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 $$ $$ t_1 = \frac{4 + 8}{6} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{4 - 8}{6} = -\frac{2}{3} $$ Значение $t_2 = -\frac{2}{3}$ не удовлетворяет условию $t > 0$. Возвращаемся к замене: $$ 2^x = 2 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $x = 1$. --- **c)** Решим уравнение $\sqrt{3 \cdot 4^x - 2^x + 2} = 2^x + 1$. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Тогда $4^x = t^2$, и уравнение принимает вид: $$ \sqrt{3t^2 - t + 2} = t + 1 $$ Так как $t > 0$, условие $t + 1 \ge 0$ выполняется автоматически. Возведём обе части в квадрат: $$ 3t^2 - t + 2 = (t + 1)^2 $$ $$ 3t^2 - t + 2 = t^2 + 2t + 1 $$ $$ 2t^2 - 3t + 1 = 0 $$ Найдем корни: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 $$ $$ t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1 $$ $$ t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} $$ Оба корня положительны. Выполним обратную замену: 1) $2^x = 1 \implies x = 0$; 2) $2^x = \frac{1}{2} \implies 2^x = 2^{-1} \implies x = -1$. Ответ: $x = -1;\; x = 0$. --- **d)** Решим уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$. Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ 1 - \cos x = \sin^2 x \end{cases} $$ Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $$ 1 - \cos x = 1 - \cos^2 x $$ $$ \cos^2 x - \cos x = 0 $$ $$ \cos x(\cos x - 1) = 0 $$ Отсюда $\cos x = 0$ или $\cos x = 1$. 1) Если $\cos x = 1$, то $\sin x = 0$. Условие $\sin x \ge 0$ выполнено ($0 \ge 0$). Решая $\cos x = 1$, получаем: $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$. С учётом условия $\sin x \ge 0$ подходит только $\sin x = 1$. Система $\cos x = 0$ и $\sin x = 1$ даёт: $$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi k;\; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$. --- **e)** Решим уравнение $\sqrt{1 + \sin x} = \cos x$. Уравнение равносильно системе: $$ \begin{cases} \cos x \ge 0 \\ 1 + \sin x = \cos^2 x \end{cases} $$ Заменим $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$: $$ 1 + \sin x = 1 - \sin^2 x $$ $$ \sin^2 x + \sin x = 0 $$ $$ \sin x(\sin x + 1) = 0 $$ Отсюда $\sin x = 0$ или $\sin x = -1$. 1) Если $\sin x = 0$, то $\cos x = \pm 1$. Условие $\cos x \ge 0$ оставляет $\cos x = 1$. Система $\sin x = 0$ и $\cos x = 1$ даёт: $$ x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ 2) Если $\sin x = -1$, то $\cos x = 0$. Условие $\cos x \ge 0$ выполнено ($0 \ge 0$). Решая $\sin x = -1$, получаем: $$ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x = 2\pi k;\; x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.