ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 6

**а)** $\sqrt[3]{x} = x$ Возведём обе части уравнения в куб: $$ (\sqrt[3]{x})^3 = x^3 $$ $$ x = x^3 $$ Перенесём все слагаемые в одну часть и разложим на множители: $$ x^3 - x = 0 $$ $$ x(x^2 - 1) = 0 $$ $$ x(x - 1)(x + 1) = 0 $$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: $$ x = 0 \quad \text{или} \quad x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0 $$ $$ x_1 = 0, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = -1 $$ **Ответ:** $-1; 0; 1$. --- **b)** $4\sqrt[3]{x + 2} = x + 2$ Введём замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x + 2}$, тогда $x + 2 = t^3$. Подставим $t$ в уравнение: $$ 4t = t^3 $$ $$ t^3 - 4t = 0 $$ $$ t(t^2 - 4) = 0 $$ $$ t(t - 2)(t + 2) = 0 $$ Получаем три значения для $t$: $$ t_1 = 0, \quad t_2 = 2, \quad t_3 = -2 $$ Вернёмся к исходной переменной: 1) $\sqrt[3]{x + 2} = 0 \implies x + 2 = 0 \implies x = -2$; 2) $\sqrt[3]{x + 2} = 2 \implies x + 2 = 2^3 \implies x + 2 = 8 \implies x = 6$; 3) $\sqrt[3]{x + 2} = -2 \implies x + 2 = (-2)^3 \implies x + 2 = -8 \implies x = -10$. **Ответ:** $-10; -2; 6$. --- **c)** $3\sqrt[3]{x} = x - 2$ Введём замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = t^3$. Уравнение принимает вид: $$ 3t = t^3 - 2 $$ $$ t^3 - 3t - 2 = 0 $$ Заметим, что при $t = -1$ выражение обращается в нуль: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$. Значит, многочлен делится на $(t + 1)$. Разложим левую часть на множители: $$ t^3 + t^2 - t^2 - t - 2t - 2 = 0 $$ $$ t^2(t + 1) - t(t + 1) - 2(t + 1) = 0 $$ $$ (t + 1)(t^2 - t - 2) = 0 $$ $$ (t + 1)(t + 1)(t - 2) = 0 $$ $$ (t + 1)^2(t - 2) = 0 $$ Отсюда: $$ t = -1 \quad \text{или} \quad t = 2 $$ Вернёмся к исходной переменной: 1) $\sqrt[3]{x} = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$; 2) $\sqrt[3]{x} = 2 \implies x = 2^3 = 8$. **Ответ:** $-1; 8$. --- **d)** $3\sqrt[3]{x - 2} = x$ Введём замену переменной: пусть $t = \sqrt[3]{x - 2}$, тогда $x - 2 = t^3$, откуда $x = t^3 + 2$. Подставим выражение в уравнение: $$ 3t = t^3 + 2 $$ $$ t^3 - 3t + 2 = 0 $$ Заметим, что число $t = 1$ является корнем: $1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0$. Значит, многочлен делится на $(t - 1)$. Разложим левую часть на множители: $$ t^3 - t^2 + t^2 - t - 2t + 2 = 0 $$ $$ t^2(t - 1) + t(t - 1) - 2(t - 1) = 0 $$ $$ (t - 1)(t^2 + t - 2) = 0 $$ $$ (t - 1)(t - 1)(t + 2) = 0 $$ $$ (t - 1)^2(t + 2) = 0 $$ Отсюда: $$ t = 1 \quad \text{или} \quad t = -2 $$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $\sqrt[3]{x - 2} = 1 \implies x - 2 = 1^3 \implies x - 2 = 1 \implies x = 3$; 2) $\sqrt[3]{x - 2} = -2 \implies x - 2 = (-2)^3 \implies x - 2 = -8 \implies x = -6$. **Ответ:** $-6; 3$.