ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 7 - 10

**a)** $\frac{4^{1-2x}}{8} = 0,5 \cdot 2^{1,2+2x}$ Приведём обе части уравнения к основанию $2$: $$ 4^{1-2x} = (2^2)^{1-2x} = 2^{2(1-2x)} = 2^{2-4x} $$ $$ 8 = 2^3, \quad 0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $$ Подставим полученные степени в уравнение: $$ \frac{2^{2-4x}}{2^3} = 2^{-1} \cdot 2^{1,2+2x} $$ Используя свойства степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $$ 2^{2-4x-3} = 2^{-1 + 1,2 + 2x} $$ $$ 2^{-4x-1} = 2^{2x+0,2} $$ Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $$ -4x - 1 = 2x + 0,2 $$ $$ -4x - 2x = 0,2 + 1 $$ $$ -6x = 1,2 $$ $$ x = -0,2 $$ Ответ: $-0,2$. --- **b)** $\frac{3^{1+3x}}{9} = 27 \cdot 3^{1-2x}$ Приведём обе части уравнения к основанию $3$: $$ 9 = 3^2, \quad 27 = 3^3 $$ Подставим в уравнение: $$ \frac{3^{1+3x}}{3^2} = 3^3 \cdot 3^{1-2x} $$ Преобразуем степени в левой и правой частях: $$ 3^{1+3x-2} = 3^{3+1-2x} $$ $$ 3^{3x-1} = 3^{4-2x} $$ Приравниваем показатели: $$ 3x - 1 = 4 - 2x $$ $$ 3x + 2x = 4 + 1 $$ $$ 5x = 5 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. --- **d)** $(0,81)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}$ Преобразуем основание в левой части уравнения: $$ 0,81 = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2 = \left(\frac{3^2}{(\sqrt{10})^2}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^4 = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{-4} $$ Тогда левая часть принимает вид: $$ (0,81)^{-2x} = \left(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{-4}\right)^{-2x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{8x} $$ Уравнение принимает вид: $$ \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{8x} = \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 8x = 3x^2 - 3 $$ $$ 3x^2 - 8x - 3 = 0 $$ Найдём корни через дискриминант: $$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $$ $$ x_1 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$ Ответ: $-\frac{1}{3}; \; 3$. --- **6)** $0,2 \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{25^{0,2-x}}{125}$ Приведём все степени к основанию $5$: $$ 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}, \quad 25 = 5^2, \quad 125 = 5^3 $$ Преобразуем каждую часть уравнения: $$ 5^{-1} \cdot 5^{0,2x+3} = \frac{(5^2)^{0,2-x}}{5^3} $$ $$ 5^{-1 + 0,2x + 3} = \frac{5^{0,4-2x}}{5^3} $$ $$ 5^{0,2x+2} = 5^{0,4-2x-3} $$ $$ 5^{0,2x+2} = 5^{-2x-2,6} $$ Приравниваем показатели: $$ 0,2x + 2 = -2x - 2,6 $$ $$ 0,2x + 2x = -2,6 - 2 $$ $$ 2,2x = -4,6 $$ $$ x = -\frac{4,6}{2,2} = -\frac{46}{22} = -\frac{23}{11} = -2\frac{1}{11} $$ Ответ: $-2\frac{1}{11}$. --- **r)** $\frac{2}{3} \cdot 4^{x-2} = \frac{8^{3-2x}}{12}$ Умножим обе части уравнения на $12$: $$ 12 \cdot \frac{2}{3} \cdot 4^{x-2} = 8^{3-2x} $$ $$ 8 \cdot 4^{x-2} = 8^{3-2x} $$ Приведём обе части уравнения к основанию $2$: $$ 8 = 2^3, \quad 4^{x-2} = (2^2)^{x-2} = 2^{2x-4}, \quad 8^{3-2x} = (2^3)^{3-2x} = 2^{9-6x} $$ Подставим степени: $$ 2^3 \cdot 2^{2x-4} = 2^{9-6x} $$ $$ 2^{3 + 2x - 4} = 2^{9-6x} $$ $$ 2^{2x-1} = 2^{9-6x} $$ Приравниваем показатели степеней: $$ 2x - 1 = 9 - 6x $$ $$ 2x + 6x = 9 + 1 $$ $$ 8x = 10 $$ $$ x = \frac{10}{8} = 1,25 $$ Ответ: $1,25$. --- **e)** $\left(\frac{2}{9}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x}$ Выразим основание $\frac{2}{9}$ через $\frac{3}{\sqrt{2}}$: $$ \frac{2}{9} = \frac{(\sqrt{2})^2}{3^2} = \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{-2} $$ Подставим это выражение в левую часть уравнения: $$ \left(\left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{-2}\right)^{x^2-1} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x} $$ $$ \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{-2(x^2-1)} = \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^{1,5x} $$ Приравниваем показатели: $$ -2(x^2 - 1) = 1,5x $$ $$ -2x^2 + 2 = 1,5x $$ Умножим обе части на $2$ и перенесём все слагаемые в одну сторону: $$ -4x^2 + 4 = 3x $$ $$ 4x^2 + 3x - 4 = 0 $$ Найдём корни квадратного уравнения: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8} $$ Ответ: $\frac{-3 \pm \sqrt{73}}{8}$.