ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 95

Пусть $x(t)$ — масса соли (в килограммах), находящейся в баке в момент времени $t$ (в минутах). Так как в бак каждую минуту вливается 5 л чистой воды и выливается 5 л смеси, объем раствора в баке остается постоянным и равен $V = 100$ л. Концентрация соли в баке в момент времени $t$ составляет: $$ c(t) = \frac{x(t)}{100} \text{ (кг/л)} $$ За малый промежуток времени $\Delta t$ из бака вытекает $5 \Delta t$ литров раствора, с которыми уходит $\Delta x$ соли: $$ \Delta x \approx - c(t) \cdot 5 \Delta t = - \frac{x(t)}{100} \cdot 5 \Delta t = - \frac{x(t)}{20} \Delta t $$ Разделив на $\Delta t$ и перейдя к пределу при $\Delta t \to 0$, получаем дифференциальное уравнение: $$ x'(t) = -\frac{1}{20} x(t) $$ Или в дифференциальной форме: $$ \frac{dx}{dt} = -\frac{x}{20} $$ По условию, в начальный момент времени $t = 0$ масса соли равна 10 кг, то есть $x(0) = 10$. Разделим переменные и проинтегрируем уравнение: $$ \frac{dx}{x} = -\frac{1}{20} dt $$ $$ \int \frac{dx}{x} = -\frac{1}{20} \int dt $$ $$ \ln x = -\frac{t}{20} + C_1 $$ $$ x(t) = C e^{-\frac{t}{20}} $$ Найдем константу $C$, используя начальное условие $x(0) = 10$: $$ 10 = C e^0 \implies C = 10 $$ Таким образом, закон изменения массы соли со временем имеет вид: $$ x(t) = 10 e^{-\frac{t}{20}} $$ Через 1 час процесс продлится $t = 60$ минут. Подставим $t = 60$ в полученную формулу: $$ x(60) = 10 e^{-\frac{60}{20}} = 10 e^{-3} = \frac{10}{e^3} \text{ (кг)} $$ Вычислим приближенное значение (при $e \approx 2{,}718$): $$ x(60) \approx \frac{10}{20{,}086} \approx 0{,}5 \text{ кг} $$ Ответ: $\frac{10}{e^3}$ кг (приблизительно $0{,}5$ кг).