ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 58

### а) Линии: $y - x^2 = 0$ и $y^2 - x = 0$ 1. Запишем уравнения линий в виде функций: Из первого уравнения: $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Из второго уравнения: $x = y^2$. Поскольку $y \ge 0$, выразим $y$ через $x$: $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. 2. Найдем абсциссы точек пересечения графиков: $$\sqrt{x} = x^2$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$x = x^4$$ $$x^4 - x = 0$$ $$x(x^3 - 1) = 0$$ $$x_1 = 0, \quad x_2 = 1$$ 3. На отрезке $[0; 1]$ график функции $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика функции $y = x^2$ (например, при $x = \frac{1}{4}$: $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$, а $\left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$, $\frac{1}{2} > \frac{1}{16}$). 4. Вычислим площадь фигуры с помощью определенного интеграла: $$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2)\,dx = \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - \frac{1^3}{3}\right) - 0 = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$ **Ответ к пункту а:** $\frac{1}{3}$. --- ### б) Линии: $y = (1 - x)(x - 5)$, $y = 4$ и $x = 1$ 1. Раскроем скобки в уравнении параболы: $$y = -x^2 + 6x - 5$$ Ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$y_0 = y(3) = (1 - 3)(3 - 5) = (-2) \cdot (-2) = 4$$ Таким образом, прямая $y = 4$ касается параболы в ее вершине $(3; 4)$. 2. Найдем пределы интегрирования: Левая граница фигуры задана вертикальной прямой $x = 1$. Правая граница определяется точкой касания прямой $y = 4$ и параболы, то есть $x = 3$. 3. На отрезке $[1; 3]$ прямая $y = 4$ лежит выше параболы $y = -x^2 + 6x - 5$. 4. Вычислим площадь фигуры: $$S = \int_{1}^{3} \bigl(4 - (-x^2 + 6x - 5)\bigr)\,dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 6x + 9)\,dx$$ Заметим, что по формуле квадрата разности $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$: $$S = \int_{1}^{3} (x - 3)^2\,dx = \left[ \frac{(x - 3)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3 - 3)^3}{3} - \frac{(1 - 3)^3}{3} = 0 - \frac{(-2)^3}{3} = -\left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$ **Ответ к пункту б:** $2\frac{2}{3}$. --- ### в) Линии: $y = (x + 1)(3 - x)$, $y = 4$ и $x = 3$ 1. Раскроем скобки в уравнении параболы: $$y = -x^2 + 2x + 3$$ Ветви параболы направлены вниз. Найдем координаты ее вершины: $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$$ $$y_0 = y(1) = (1 + 1)(3 - 1) = 2 \cdot 2 = 4$$ Прямая $y = 4$ касается параболы в ее вершине $(1; 4)$. 2. Найдем пределы интегрирования: Левая граница определяется точкой касания прямой $y = 4$ и параболы, то есть $x = 1$. Правая граница задана вертикальной прямой $x = 3$. 3. На отрезке $[1; 3]$ прямая $y = 4$ лежит выше параболы $y = -x^2 + 2x + 3$. 4. Вычислим площадь фигуры: $$S = \int_{1}^{3} \bigl(4 - (-x^2 + 2x + 3)\bigr)\,dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 2x + 1)\,dx$$ По формуле квадрата разности $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$: $$S = \int_{1}^{3} (x - 1)^2\,dx = \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{1}^{3} = \frac{(3 - 1)^3}{3} - \frac{(1 - 1)^3}{3} = \frac{2^3}{3} - 0 = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$$ **Ответ к пункту в:** $2\frac{2}{3}$.