ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 5

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Все заданные функции определены и дифференцируемы на всей числовой прямой $\mathbb{R}$. Найдём производную функции $F(x)$ для каждого пункта и сравним её с $f(x)$. а) Дано: $f(x) = (3x + 7)^{10}$, $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C$. Найдём производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и свойство $(C)' = 0$: $$ F'(x) = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C\right)' = \frac{1}{33} \cdot \left((3x + 7)^{11}\right)' + 0 $$ $$ F'(x) = \frac{1}{33} \cdot 11(3x + 7)^{10} \cdot (3x + 7)' = \frac{11}{33}(3x + 7)^{10} \cdot 3 = \frac{33}{33}(3x + 7)^{10} = (3x + 7)^{10} $$ Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$. Что и требовалось доказать. б) Дано: $f(x) = \cos(2x - 1)$, $F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - 1) + C$. Найдём производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = \left(\frac{1}{2} \sin(2x - 1) + C\right)' = \frac{1}{2} \cdot (\sin(2x - 1))' + 0 $$ $$ F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot (2x - 1)' = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = \cos(2x - 1) $$ Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$. Что и требовалось доказать. в) Дано: $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, $F(x) = -\frac{1}{7} \cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C$. Найдём производную функции $F(x)$: $$ F'(x) = \left(-\frac{1}{7} \cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C\right)' = -\frac{1}{7} \cdot \left(\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' + 0 $$ $$ F'(x) = -\frac{1}{7} \cdot \left(-\sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(7x - \frac{\pi}{4}\right)' = \frac{1}{7} \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 7 = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) $$ Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на $\mathbb{R}$. Что и требовалось доказать.