ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 6 - 22

**а)** Найдем интеграл $\int \frac{4x\,dx}{1+x^2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = 1 + x^2$. Тогда $dt = (1 + x^2)'\,dx = 2x\,dx$, откуда $4x\,dx = 2\,dt$. Подставим полученные выражения в интеграл: $$ \int \frac{4x\,dx}{1+x^2} = \int \frac{2\,dt}{t} = 2 \int \frac{dt}{t} = 2\ln|t| + C = 2\ln(1+x^2) + C $$ Так как $1 + x^2 > 0$ при любых действительных $x$, знак модуля можно опустить. Ответ: $2\ln(1+x^2) + C$. --- **б)** Найдем интеграл $\int \frac{2x\,dx}{1+4x^2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = 1 + 4x^2$. Тогда $dt = (1 + 4x^2)'\,dx = 8x\,dx$, откуда $2x\,dx = \frac{1}{4}\,dt$. Подставим полученные выражения в интеграл: $$ \int \frac{2x\,dx}{1+4x^2} = \int \frac{\frac{1}{4}\,dt}{t} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{4}\ln|t| + C = \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C $$ Так как $1 + 4x^2 > 0$ при любых действительных $x$, знак модуля опускается. Ответ: $\frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$. --- **в)** Найдем интеграл $\int \frac{x\,dx}{1+9x^2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = 1 + 9x^2$. Тогда $dt = (1 + 9x^2)'\,dx = 18x\,dx$, откуда $x\,dx = \frac{1}{18}\,dt$. Подставим полученные выражения в интеграл: $$ \int \frac{x\,dx}{1+9x^2} = \int \frac{\frac{1}{18}\,dt}{t} = \frac{1}{18} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{18}\ln|t| + C = \frac{1}{18}\ln(1+9x^2) + C $$ Так как $1 + 9x^2 > 0$ при любых действительных $x$, знак модуля опускается. Ответ: $\frac{1}{18}\ln(1+9x^2) + C$. --- **г)** Найдем интеграл $\int \frac{x\,dx}{4+x^2}$. Выполним замену переменной: пусть $t = 4 + x^2$. Тогда $dt = (4 + x^2)'\,dx = 2x\,dx$, откуда $x\,dx = \frac{1}{2}\,dt$. Подставим полученные выражения в интеграл: $$ \int \frac{x\,dx}{4+x^2} = \int \frac{\frac{1}{2}\,dt}{t} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln(4+x^2) + C $$ Так как $4 + x^2 > 0$ при любых действительных $x$, знак модуля опускается. Ответ: $\frac{1}{2}\ln(4+x^2) + C$.