ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 84

**а)** $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $[0; +\infty)$. 1. Функция определена и непрерывна при всех $x \in \mathbb{R}$, так как знаменатель $x^2 + 4 > 0$ при любых $x$. 2. Представим функцию в более удобном виде: $$f(x) = \frac{x^2 + 4 - x}{x^2 + 4} = 1 - \frac{x}{x^2 + 4}$$ 3. Найдем производную функции: $$f'(x) = \left( 1 - \frac{x}{x^2 + 4} \right)' = - \frac{1 \cdot (x^2 + 4) - x \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = - \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^2} = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$$ 4. Найдем критические точки: $$f'(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Промежутку $[0; +\infty)$ принадлежит только точка $x = 2$. 5. Определим знаки производной на промежутке $[0; +\infty)$: - при $x \in [0; 2)$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает; - при $x \in (2; +\infty)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает. Точка $x = 2$ является точкой минимума функции. 6. Вычислим значения функции в характерных точках и найдем предел на бесконечности: - $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = 1$; - $f(2) = \frac{2^2 - 2 + 4}{2^2 + 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$; - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{x}{x^2 + 4} \right) = 1 - 0 = 1$. Так как функция убывает от $1$ до $\frac{3}{4}$ на отрезке $[0; 2]$ и возрастает от $\frac{3}{4}$ до $1$ на промежутке $[2; +\infty)$, значение $f(x)$ не превосходит $1$ при всех $x \ge 0$ (причем равенство достигается при $x = 0$). Наименьшее значение функции: $$\min_{[0; +\infty)} f(x) = f(2) = \frac{3}{4}$$ Наибольшее значение функции: $$\max_{[0; +\infty)} f(x) = f(0) = 1$$ Множество значений функции на промежутке $[0; +\infty)$: $E(f) = \left[\frac{3}{4}; 1\right]$. **Ответ:** $\max_{[0; +\infty)} f(x) = 1$, $\min_{[0; +\infty)} f(x) = \frac{3}{4}$. --- **б)** $f(x) = \frac{x^2 - x + 4}{x^2 + 4}$ на промежутке $(-\infty; 0]$. 1. Производная функции найдена в пункте **а)**: $$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{(x^2 + 4)^2}$$ 2. Критическая точка, принадлежащая промежутку $(-\infty; 0]$, — это $x = -2$. 3. Определим знаки производной на промежутке $(-\infty; 0]$: - при $x \in (-\infty; -2)$ имеем $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает; - при $x \in (-2; 0]$ имеем $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает. Точка $x = -2$ является точкой максимума функции. 4. Вычислим значения функции и найдем предел: - $f(-2) = \frac{(-2)^2 - (-2) + 4}{(-2)^2 + 4} = \frac{4 + 2 + 4}{4 + 4} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$; - $f(0) = \frac{0^2 - 0 + 4}{0^2 + 4} = 1$; - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( 1 - \frac{x}{x^2 + 4} \right) = 1 - 0 = 1$. Так как функция строго возрастает от $1$ до $\frac{5}{4}$ на $(-\infty; -2]$ и убывает от $\frac{5}{4}$ до $1$ на отрезке $[-2; 0]$, при всех $x \in (-\infty; 0]$ выполняется $f(x) \ge 1$ (равенство достигается только при $x = 0$). Наибольшее значение функции: $$\max_{(-\infty; 0]} f(x) = f(-2) = \frac{5}{4}$$ Наименьшее значение функции: $$\min_{(-\infty; 0]} f(x) = f(0) = 1$$ Множество значений функции на промежутке $(-\infty; 0]$: $E(f) = \left[1; \frac{5}{4}\right]$. **Ответ:** $\max_{(-\infty; 0]} f(x) = \frac{5}{4}$, $\min_{(-\infty; 0]} f(x) = 1$.