ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 78

а) $f(x) = |x^2 - 1|$ Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Раскроем знак модуля: $$ f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } |x| \ge 1, \\ -(x^2 - 1) = 1 - x^2, & \text{если } |x| < 1. \end{cases} $$ 1. При $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$: $$ f'(x) = (x^2 - 1)' = 2x $$ $$ f''(x) = (2x)' = 2 $$ Так как $f''(x) = 2 > 0$, график функции выпукл вниз на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$. 2. При $x \in (-1; 1)$: $$ f'(x) = (1 - x^2)' = -2x $$ $$ f''(x) = (-2x)' = -2 $$ Так как $f''(x) = -2 < 0$, график функции выпукл вверх на промежутке $[-1; 1]$. 3. Исследуем точки смены знака второй производной $x = -1$ и $x = 1$: В точке $x = 1$: левая производная $f'_-(1) = \lim\limits_{x \to 1^-} (-2x) = -2$, правая производная $f'_+(1) = \lim\limits_{x \to 1^+} (2x) = 2$. Так как $f'_-(1) \neq f'_+(1)$, производная $f'(1)$ не существует (в точке $(1; 0)$ график имеет излом, касательная к графику не существует). Аналогично в точке $x = -1$: $f'_-(-1) = -2$, а $f'_+(-1) = 2$, касательная к графику не существует. По определению точка перегиба графика — это точка, в которой существует касательная и меняется направление выпуклости. Так как в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ касательной нет, они не являются точками перегиба. **Ответ:** Выпукла вниз на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$; выпукла вверх на $[-1; 1]$. Точек перегиба нет. --- б) $f(x) = |\sin x|$ Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция является периодической с периодом $T = \pi$. Нули подмодульного выражения: $\sin x = 0 \iff x = \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. 1. При $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$, значение $\sin x > 0$: $$ f(x) = \sin x $$ $$ f'(x) = \cos x $$ $$ f''(x) = -\sin x $$ Так как на этом интервале $\sin x > 0$, то $f''(x) < 0$. График функции выпукл вверх на отрезках $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$. 2. При $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), \; k \in \mathbb{Z}$, значение $\sin x < 0$: $$ f(x) = -\sin x $$ $$ f'(x) = -\cos x $$ $$ f''(x) = \sin x $$ Так как на этом интервале $\sin x < 0$, то $f''(x) < 0$. График функции выпукл вверх на отрезках $[\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k]$. Объединяя оба случая, получаем, что график функции выпукл вверх на каждом отрезке $[\pi k; \pi(k + 1)], \; k \in \mathbb{Z}$. Промежутков выпуклости вниз нет. Направление выпуклости не меняется, следовательно, точек перегиба нет. **Ответ:** Выпукла вверх на отрезках $[\pi k; \pi(k + 1)], \; k \in \mathbb{Z}$; промежутков выпуклости вниз нет. Точек перегиба нет. --- в) $f(x) = |\tg x|$ Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. Функция является периодической с периодом $T = \pi$. Рассмотрим интервалы между точками разрыва и нулями функции: 1. При $x \in \left(\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$, значение $\tg x > 0$: $$ f(x) = \tg x $$ $$ f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ f''(x) = \left(\frac{1}{\cos^2 x}\right)' = -\frac{2\cos x \cdot (-\sin x)}{\cos^4 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x} = \frac{2\tg x}{\cos^2 x} $$ Так как на этих интервалах $\tg x > 0$, то $f''(x) > 0$. График функции выпукл вниз на $\left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$. 2. При $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$, значение $\tg x < 0$: $$ f(x) = -\tg x $$ $$ f'(x) = -\frac{1}{\cos^2 x} $$ $$ f''(x) = -\frac{2\tg x}{\cos^2 x} $$ Так как на этих интервалах $\tg x < 0$, то $-\tg x > 0$, следовательно, $f''(x) > 0$. График функции выпукл вниз на $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k\right]$. Таким образом, функция выпукла вниз на промежутках $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k\right]$ и $\left[\pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$ (то есть на каждом интервале $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right)$ своей области определения). Промежутков выпуклости вверх нет, направление выпуклости не меняется. Точек перегиба нет. **Ответ:** Выпукла вниз на интервалах $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k\right), \; k \in \mathbb{Z}$; промежутков выпуклости вверх нет. Точек перегиба нет.