ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 74

Для определения вида локального экстремума дважды дифференцируемой функции $y = f(x)$ в стационарной точке $x_0$ (где $f'(x_0) = 0$) используют второе достаточное условие экстремума: 1. **Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка локального максимума.** *Обоснование:* Так как вторая производная отрицательна ($f''(x_0) < 0$), первая производная $f'(x)$ строго убывает в некоторой окрестности точки $x_0$. Поскольку $f'(x_0) = 0$, при переходе через точку $x_0$ слева направо производная меняет свой знак с положительного на отрицательный: при $x < x_0$ имеем $f'(x) > 0$, а при $x > x_0$ имеем $f'(x) < 0$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает слева от $x_0$ и убывает справа от $x_0$, а значит, точка $x_0$ является точкой максимума (график функции в окрестности этой точки выпукл вверх). 2. **Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка локального минимума.** *Обоснование:* Так как вторая производная положительна ($f''(x_0) > 0$), первая производная $f'(x)$ строго возрастает в окрестности точки $x_0$. Поскольку $f'(x_0) = 0$, при переходе через точку $x_0$ производная меняет свой знак с отрицательного на положительный: при $x < x_0$ имеем $f'(x) < 0$, а при $x > x_0$ имеем $f'(x) > 0$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает слева от $x_0$ и возрастает справа от $x_0$, а значит, точка $x_0$ является точкой минимума (график функции в окрестности этой точки выпукл вниз). 3. **Если $f''(x_0) = 0$, то сделать вывод о виде экстремума по знаку второй производной нельзя.** В этом случае экстремум может существовать (например, у функции $y = x^4$ в точке $x_0 = 0$ минимум), а может и отсутствовать (например, у функции $y = x^3$ в точке $x_0 = 0$ экстремума нет). Требуется дальнейшее исследование с помощью знака первой производной в окрестности точки $x_0$ или с помощью производных более высокого порядка.