ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 40

Формула (2) из учебника представляет собой формулу для приближённых вычислений с помощью производной (линейную аппроксимацию приращения функции): $$ f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x $$ Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt{x}$ и точку $x_0 = 1$. 1. Найдём значение функции в точке $x_0 = 1$: $f(1) = \sqrt{1} = 1$. 2. Найдём производную функции: $f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. 3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} = \frac{1}{2}$. 4. Подставим полученные значения в формулу (2): $$ \sqrt{1 + \Delta x} \approx 1 + \frac{1}{2}\Delta x $$ Формула показана. --- Вычислим приближённые значения заданных выражений с помощью полученной формулы: а) $\sqrt{1,01}$ Представим подкоренное число в виде $1 + \Delta x$: $1,01 = 1 + 0,01$, значит, $\Delta x = 0,01$. $$ \sqrt{1,01} = \sqrt{1 + 0,01} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,01 = 1 + 0,005 = 1,005 $$ Ответ: $1,005$. б) $\sqrt{1,02}$ Представим подкоренное число в виде $1 + \Delta x$: $1,02 = 1 + 0,02$, значит, $\Delta x = 0,02$. $$ \sqrt{1,02} = \sqrt{1 + 0,02} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot 0,02 = 1 + 0,01 = 1,01 $$ Ответ: $1,01$. в) $\sqrt{0,99}$ Представим подкоренное число в виде $1 + \Delta x$: $0,99 = 1 - 0,01$, значит, $\Delta x = -0,01$. $$ \sqrt{0,99} = \sqrt{1 + (-0,01)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,01) = 1 - 0,005 = 0,995 $$ Ответ: $0,995$. г) $\sqrt{0,98}$ Представим подкоренное число в виде $1 + \Delta x$: $0,98 = 1 - 0,02$, значит, $\Delta x = -0,02$. $$ \sqrt{0,98} = \sqrt{1 + (-0,02)} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot (-0,02) = 1 - 0,01 = 0,99 $$ Ответ: $0,99$.