ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 120

### Исследование функции $y = \frac{\ln x}{x}$ и построение её графика 1. **Область определения функции:** Подкоренное и логарифмируемое выражения должны быть допустимы, а знаменатель не равен нулю: $$ D(y) = (0; +\infty) $$ 2. **Чётность, нечётность, периодичность:** Область определения $(0; +\infty)$ не симметрична относительно нуля, следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной, а также не является периодической. 3. **Точки пересечения с осями координат:** - С осью $Oy$: график не пересекает ось $Oy$, так как точка $x = 0$ не входит в область определения. - С осью $Ox$: $$ y = 0 \iff \frac{\ln x}{x} = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1 $$ Точка пересечения с осью абсцисс — $(1; 0)$. 4. **Промежутки знакопостоянства:** - $y > 0$ при $\ln x > 0$, то есть при $x \in (1; +\infty)$; - $y < 0$ при $\ln x < 0$, то есть при $x \in (0; 1)$. 5. **Поведение функции на границах области определения и асимптоты:** - При $x \to 0^+$: числитель стремится к $-\infty$, а знаменатель стремится к $0$ ($x > 0$), следовательно: $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{x} = -\infty $$ Прямая $x = 0$ (ось ординат) — вертикальная асимптота. - При $x \to +\infty$: логарифмическая функция растёт медленнее линейной: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $$ Прямая $y = 0$ (ось абсцисс) — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$. 6. **Промежутки возрастания, убывания и экстремумы:** Найдём производную функции по правилу дифференцирования дроби: $$ y' = \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $$ Приравняем производную к нулю: $$ 1 - \ln x = 0 \iff \ln x = 1 \iff x = e $$ Знаменатель $x^2 > 0$ при всех $x \in (0; +\infty)$, поэтому знак производной определяется знаком числителя $1 - \ln x$: - при $x \in (0; e)$: $1 - \ln x > 0 \implies y' > 0$, функция строго возрастает; - при $x \in (e; +\infty)$: $1 - \ln x < 0 \implies y' < 0$, функция строго убывает. Так как при переходе через точку $x = e$ производная меняет знак с плюса на минус, $x = e$ — точка максимума: $$ x_{\max} = e \approx 2{,}72 $$ $$ y_{\max} = y(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e} \approx 0{,}37 $$ 7. **Характерные точки для построения графика:** - $(1; 0)$ — нуль функции; - $\left(e; \frac{1}{e}\right) \approx (2{,}72; 0{,}37)$ — точка максимума; - $\left(e^2; \frac{2}{e^2}\right) \approx (7{,}39; 0{,}27)$; - при $0 < x < 1$ график выходит из $-\infty$ вдоль оси $Oy$, круто поднимается, пересекает ось $Ox$ в точке $(1; 0)$, достигает своего наибольшего значения в вершине $\left(e; \frac{1}{e}\right)$, после чего плавно убывает, асимптотически приближаясь к оси $Ox$ сверху. --- ### Сравнение чисел Сравнение положительных чисел $a^b$ и $b^a$ при $a, b > 0$ равносильно сравнению их натуральных логарифмов: $$ a^b > b^a \iff \ln(a^b) > \ln(b^a) \iff b \ln a > a \ln b \iff \frac{\ln a}{a} > \frac{\ln b}{b} \iff f(a) > f(b) $$ где $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. **а) Сравним $3^\pi$ и $\pi^3$:** Числа $3$ и $\pi$ удовлетворяют условию: $$ e < 3 < \pi \quad (\text{так как } e \approx 2{,}72, \ \pi \approx 3{,}14) $$ На промежутке $[e; +\infty)$ функция $f(x)$ строго убывает. Так как $3 < \pi$, то: $$ f(3) > f(\pi) $$ $$ \frac{\ln 3}{3} > \frac{\ln \pi}{\pi} $$ Умножим обе части неравенства на $3\pi > 0$: $$ \pi \ln 3 > 3 \ln \pi $$ $$ \ln(3^\pi) > \ln(\pi^3) $$ Потенцируя по основанию $e > 1$, получаем: $$ 3^\pi > \pi^3 $$ **Ответ к пункту а:** $3^\pi > \pi^3$. --- **б) Сравним $e^3$ и $3^e$:** Точка $x = e$ является точкой строгого максимума функции $f(x)$ на всей области определения $(0; +\infty)$. Так как $3 \ne e$, значение функции в точке максимума строго больше значения в любой другой точке: $$ f(e) > f(3) $$ $$ \frac{\ln e}{e} > \frac{\ln 3}{3} $$ Умножим обе части на $3e > 0$: $$ 3 \ln e > e \ln 3 $$ $$ \ln(e^3) > \ln(3^e) $$ Следовательно: $$ e^3 > 3^e $$ **Ответ к пункту б:** $e^3 > 3^e$. --- **в) Сравним $e^\pi$ и $\pi^e$:** Аналогично, так как $x = e$ — точка строгого максимума функции $f(x)$, а $\pi \ne e$: $$ f(e) > f(\pi) $$ $$ \frac{\ln e}{e} > \frac{\ln \pi}{\pi} $$ Умножим обе части на $\pi e > 0$: $$ \pi \ln e > e \ln \pi $$ $$ \ln(e^\pi) > \ln(\pi^e) $$ Следовательно: $$ e^\pi > \pi^e $$ **Ответ к пункту в:** $e^\pi > \pi^e$.