ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 104

а) $y = \frac{2x^2 + 1}{x}$ 1. Область определения: $x \neq 0$. 2. Вертикальная асимптота: Вычислим предел функции при $x \to 0$: $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 + 1}{x} = \infty $$ Следовательно, прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота. 3. Наклонная асимптота: Выделим целую часть дроби: $$ y = \frac{2x^2 + 1}{x} = 2x + \frac{1}{x} $$ Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$, график функции при $x \to \pm\infty$ приближается к прямой $y = 2x$. Следовательно, прямая $y = 2x$ — наклонная асимптота. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 0$, наклонная асимптота $y = 2x$. --- б) $y = \frac{2x^2 - 1}{x}$ 1. Область определения: $x \neq 0$. 2. Вертикальная асимптота: Вычислим предел функции при $x \to 0$: $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 1}{x} = \infty $$ Следовательно, прямая $x = 0$ — вертикальная асимптота. 3. Наклонная асимптота: Выделим целую часть дроби: $$ y = \frac{2x^2 - 1}{x} = 2x - \frac{1}{x} $$ Так как $\lim_{x \to \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0$, график функции при $x \to \pm\infty$ приближается к прямой $y = 2x$. Следовательно, прямая $y = 2x$ — наклонная асимптота. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 0$, наклонная асимптота $y = 2x$. --- в) $y = \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2}$ 1. Область определения: $x \neq 2$. 2. Вертикальная асимптота: При $x = 2$ числитель равен $2 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 + 5 = 3 \neq 0$, а знаменатель равен нулю, поэтому: $$ \lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 5x + 5}{x - 2} = \infty $$ Следовательно, прямая $x = 2$ — вертикальная асимптота. 3. Наклонная асимптота: Разделим числитель на знаменатель с остатком: $$ 2x^2 - 5x + 5 = 2x(x - 2) - x + 5 = 2x(x - 2) - 1(x - 2) + 3 = (2x - 1)(x - 2) + 3 $$ Запишем функцию в виде: $$ y = 2x - 1 + \frac{3}{x - 2} $$ Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x - 2} = 0$, график функции приближается к прямой $y = 2x - 1$. Следовательно, прямая $y = 2x - 1$ — наклонная асимптота. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = 2$, наклонная асимптота $y = 2x - 1$. --- г) $y = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x + 1}$ 1. Область определения: $x \neq -1$. 2. Разложим числитель на множители: Корни квадратного трехчлена $3x^2 + 2x - 1 = 0$: $$ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 $$ $$ x_1 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1 $$ Значит, $3x^2 + 2x - 1 = 3\left(x - \frac{1}{3}\right)(x + 1) = (3x - 1)(x + 1)$. Сократим дробь при $x \neq -1$: $$ y = \frac{(3x - 1)(x + 1)}{x + 1} = 3x - 1 $$ 3. Вертикальная асимптота: Так как $\lim_{x \to -1} y = \lim_{x \to -1} (3x - 1) = -4$, в точке $x = -1$ устранимый разрыв, вертикальной асимптоты нет. 4. Наклонная асимптота: Графиком функции является прямая $y = 3x - 1$ с выколотой точкой $(-1; -4)$, поэтому наклонной асимптотой служит сама прямая $y = 3x - 1$. **Ответ:** вертикальных асимптот нет, наклонная асимптота $y = 3x - 1$. --- д) $y = \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1}$ 1. Область определения: $3x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{3}$. 2. Вертикальная асимптота: При $x = -\frac{1}{3}$ числитель равен $\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) + 1 = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{16}{9} \neq 0$. $$ \lim_{x \to -1/3} \frac{x^2 - 2x + 1}{3x + 1} = \infty $$ Следовательно, прямая $x = -\frac{1}{3}$ — вертикальная асимптота. 3. Наклонная асимптота: Разделим числитель на знаменатель с остатком: $$ x^2 - 2x + 1 = \frac{1}{3}x(3x + 1) - \frac{7}{3}x + 1 = \frac{1}{3}x(3x + 1) - \frac{7}{9}(3x + 1) + \frac{16}{9} $$ Тогда: $$ y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9} + \frac{16}{9(3x + 1)} $$ Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{16}{9(3x + 1)} = 0$, прямая $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$ — наклонная асимптота. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = -\frac{1}{3}$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{3}x - \frac{7}{9}$. --- е) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1}$ 1. Область определения: $2x - 1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}$. 2. Вертикальная асимптота: При $x = \frac{1}{2}$ числитель равен $\left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 = \frac{9}{4} \neq 0$. $$ \lim_{x \to 1/2} \frac{x^2 + 2x + 1}{2x - 1} = \infty $$ Следовательно, прямая $x = \frac{1}{2}$ — вертикальная асимптота. 3. Наклонная асимптота: Разделим числитель на знаменатель с остатком: $$ x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{2}x(2x - 1) + \frac{5}{2}x + 1 = \frac{1}{2}x(2x - 1) + \frac{5}{4}(2x - 1) + \frac{9}{4} $$ Тогда: $$ y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4} + \frac{9}{4(2x - 1)} $$ Так как $\lim_{x \to \infty} \frac{9}{4(2x - 1)} = 0$, прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$ — наклонная асимптота. **Ответ:** вертикальная асимптота $x = \frac{1}{2}$, наклонная асимптота $y = \frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$.