ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 5 - 1

**а)** Максимумом (или наибольшим значением) функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют такое значение $M = f(x_0)$, где $x_0 \in [a; b]$, что для всех $x \in [a; b]$ выполняется неравенство: $$ f(x) \leqslant M $$ Обозначают его так: $$ \max_{[a; b]} f(x) \quad \text{или} \quad \max_{x \in [a; b]} f(x) $$ **б)** Минимумом (или наименьшим значением) функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ называют такое значение $m = f(x_0)$, где $x_0 \in [a; b]$, что для всех $x \in [a; b]$ выполняется неравенство: $$ f(x) \geqslant m $$ Обозначают его так: $$ \min_{[a; b]} f(x) \quad \text{или} \quad \min_{x \in [a; b]} f(x) $$ **в)** Да, верно. Согласно теореме Вейерштрасса, любая непрерывная на отрезке $[a; b]$ функция принимает на этом отрезке своё наибольшее и наименьшее значения. **г)** Точку $x_0 \in [a; b]$ называют точкой максимума функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, если для всех $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \leqslant f(x_0)$. Точку $x_0 \in [a; b]$ называют точкой минимума функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$, если для всех $x \in [a; b]$ выполняется неравенство $f(x) \geqslant f(x_0)$. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции на отрезке (наибольшим значением), а значение функции в точке минимума — минимумом функции на отрезке (наименьшим значением). **д)** Точку $x_0 \in [a; b]$ называют точкой локального максимума функции $y = f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (принадлежащих отрезку $[a; b]$) выполняется неравенство: $$ f(x) \leqslant f(x_0) $$ Точку $x_0 \in [a; b]$ называют точкой локального минимума функции $y = f(x)$, если существует такая окрестность точки $x_0$, что для всех $x$ из этой окрестности (принадлежащих отрезку $[a; b]$) выполняется неравенство: $$ f(x) \geqslant f(x_0) $$ Значения функции в этих точках называют соответственно локальным максимумом и локальным минимумом функции. **е)** Точками локального экстремума функции $y = f(x)$ называют точки её локального максимума и локального минимума. **ж)** Да, верно: равенство производной нулю является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. *Пример:* функция $y = x^3$. Её производная $y' = 3x^2$. В точке $x_0 = 0$ производная равна нулю ($y'(0) = 0$). Однако при $x < 0$ имеем $x^3 < 0$, а при $x > 0$ имеем $x^3 > 0$. Производная при переходе через точку $x_0 = 0$ не меняет знак (она неотрицательна при всех $x$), функция монотонно возрастает на всей числовой оси, следовательно, точка $x_0 = 0$ не является точкой локального экстремума. **з)** Критическими точками функции на отрезке $[a; b]$ называют внутренние точки этого отрезка (то есть точки интервала $(a; b)$), в которых производная функции равна нулю или не существует. Чтобы найти эти точки, нужно: 1. Найти производную функции $f'(x)$. 2. Найти точки из интервала $(a; b)$, в которых $f'(x) = 0$ (стационарные точки). 3. Найти точки из интервала $(a; b)$, в которых производная $f'(x)$ не существует. **и)** Порядок отыскания максимума и минимума непрерывной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$: 1. Найти производную функции $f'(x)$. 2. Найти критические точки функции, принадлежащие интервалу $(a; b)$. 3. Вычислить значения функции в найденных критических точках, а также на концах отрезка — в точках $a$ и $b$ (то есть найти $f(a)$ и $f(b)$). 4. Из всех вычисленных значений выбрать наибольшее и наименьшее: наибольшее будет максимумом функции на отрезке $[a; b]$, а наименьшее — минимумом функции на отрезке $[a; b]$. **к)\*** Порядок отыскания максимума и минимума функции на интервале $(a; b)$ или полуинтервале: 1. Найти критические точки функции, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках. 2. Исследовать поведение функции с помощью производной (определить промежутки возрастания и убывания) или вычислить пределы функции при приближении к концам промежутка (односторонние пределы). Если промежуток содержит замкнутый конец (в случае полуинтервала), вычислить значение функции в этой граничной точке. 3. Сравнить полученные значения функции в критических точках со значениями на границе (если граница входит) и с предельными значениями на незамкнутых концах промежутка. 4. Сделать вывод: — если функция ограничена и достигает своего наибольшего (наименьшего) значения во внутренней точке или на включённом конце, то это значение является максимумом (минимумом) на промежутке; — если функция неограниченна или приближается к своему супремуму (инфимуму) только при приближении к открытому концу промежутка, то максимума (минимума) функции на данном промежутке не существует. *(Частный случай: если непрерывная функция имеет на интервале единственную точку локального экстремума и это точка максимума (минимума), то значение функции в этой точке является её максимумом (минимумом) на всём интервале).*