ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 4 - 50

Область определения функции $y = \frac{\ln x}{x}$: $x > 0$. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ y' = \left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $$ Производная определена при всех $x > 0$. При этом для любого $x > 0$ знаменатель положителен: $x^2 > 0$. Следовательно, знак производной определяется знаком числителя $1 - \ln x$. а) Производная равна нулю: $$ y' = 0 $$ $$ \frac{1 - \ln x}{x^2} = 0 $$ $$ 1 - \ln x = 0 $$ $$ \ln x = 1 \implies x = e $$ Значение $x = e$ принадлежит области определения. б) Производная положительна: $$ y' > 0 $$ $$ \frac{1 - \ln x}{x^2} > 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при $x > 0$, получаем: $$ 1 - \ln x > 0 $$ $$ \ln x < 1 $$ С учетом области определения ($x > 0$): $$ 0 < x < e $$ в) Производная отрицательна: $$ y' < 0 $$ $$ \frac{1 - \ln x}{x^2} < 0 $$ Так как $x^2 > 0$ при $x > 0$, получаем: $$ 1 - \ln x < 0 $$ $$ \ln x > 1 $$ $$ x > e $$ Ответ: а) $x = e$; б) $x \in (0; e)$; в) $x \in (e; +\infty)$.