ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 252

Для нахождения всех значений параметра $a$, при которых система неравенств $$ \begin{cases} ax^2 - 2(a+1)x + a + 5 \leqslant 0 \\ (a+1)x^2 - 2(a+2)x + a + 2 \geqslant 0 \end{cases} $$ имеет единственное решение, рассмотрим функции: $$ f(x) = ax^2 - 2(a+1)x + a + 5 $$ $$ g(x) = (a+1)x^2 - 2(a+2)x + a + 2 $$ ### 1. Исследование дискриминантов трехчленов Найдем четверти дискриминантов $D_1$ и $D_2$ для квадратных трехчленов $f(x)$ и $g(x)$ соответственно: $$ \frac{D_1}{4} = (a+1)^2 - a(a+5) = a^2 + 2a + 1 - a^2 - 5a = 1 - 3a $$ $$ \frac{D_2}{4} = (a+2)^2 - (a+1)(a+2) = (a+2)(a+2 - a - 1) = a + 2 $$ Найдем также разность $f(x) - g(x)$: $$ f(x) - g(x) = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 3)(x + 1) $$ Отсюда следует, что графики функций $f(x)$ и $g(x)$ могут пересекаться (и трехчлены могут иметь общие корни) только при $x = 3$ и $x = -1$. --- ### 2. Линейные случаи **Случай 1:** $a = 0$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} -2x + 5 \leqslant 0 \\ x^2 - 4x + 2 \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geqslant 2{,}5 \\ x \in (-\infty; 2-\sqrt{2}] \cup [2+\sqrt{2}; +\infty) \end{cases} $$ Пересечением является луч $[2+\sqrt{2}; +\infty)$, то есть решений бесконечно много. Значение $a = 0$ не подходит. **Случай 2:** $a = -1$. Система принимает вид: $$ \begin{cases} -x^2 + 4 \leqslant 0 \\ -2x + 1 \geqslant 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty) \\ x \leqslant 0{,}5 \end{cases} $$ Пересечением является луч $(-\infty; -2]$, решений бесконечно много. Значение $a = -1$ не подходит. --- ### 3. Случай $a > 0$ Для первого неравенства коэффициент при $x^2$ положителен ($a > 0$). * Если $\frac{D_1}{4} < 0$, то есть $a > \frac{1}{3}$, то $f(x) > 0$ для всех $x$, и первое неравенство не имеет решений. Следовательно, система решений не имеет. * Если $\frac{D_1}{4} = 0$, то есть $a = \frac{1}{3}$: Первое неравенство принимает вид: $$ \frac{1}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{16}{3} \leqslant 0 \iff \frac{1}{3}(x - 4)^2 \leqslant 0 \implies x = 4 $$ Единственным решением первого неравенства является $x = 4$. Проверим его для второго неравенства при $a = \frac{1}{3}$: $$ g(4) = \left(\frac{1}{3} + 1\right)\cdot 16 - 2\left(\frac{1}{3} + 2\right)\cdot 4 + \frac{1}{3} + 2 = \frac{64}{3} - \frac{56}{3} + \frac{7}{3} = 5 \geqslant 0 $$ Неравенство выполняется, значит, при $a = \frac{1}{3}$ система имеет единственное решение $x = 4$. Значение $a = \frac{1}{3}$ подходит. * Если $\frac{D_1}{4} > 0$, то есть $0 < a < \frac{1}{3}$: Множеством решений первого неравенства является отрезок $[x_1; x_2]$. Для второго неравенства коэффициент при $x^2$ равен $a + 1 > 0$, а $\frac{D_2}{4} = a + 2 > 0$. Множеством его решений является объединение лучей $(-\infty; y_1] \cup [y_2; +\infty)$. Пересечение отрезка $[x_1; x_2]$ и множества $(-\infty; y_1] \cup [y_2; +\infty)$ может состоять из одной точки только в том случае, если отрезок целиком лежит внутри интервала $(y_1; y_2)$ и касается его границы в одной из точек (то есть $x_1 = y_1$ или $x_2 = y_2$). Это возможно лишь при наличии общего корня у $f(x)$ и $g(x)$. Так как $a > 0$, единственный возможный общий корень — это $x = 3$, откуда: $$ f(3) = 9a - 6(a+1) + a + 5 = 4a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{4} $$ Проверим $a = \frac{1}{4}$: $$ f(x) \leqslant 0 \iff \frac{1}{4}(x - 3)(x - 7) \leqslant 0 \iff x \in [3; 7] $$ $$ g(x) \geqslant 0 \iff \frac{1}{4}(x - 3)(5x - 3) \geqslant 0 \iff x \in (-\infty; 0{,}6] \cup [3; +\infty) $$ Пересечением является отрезок $[3; 7]$, то есть решений бесконечно много. Значит, при $0 < a < \frac{1}{3}$ решений нет. --- ### 4. Случай $a < 0$ * При $a < -2$: Для второго неравенства коэффициент при $x^2$ равен $a + 1 < -1 < 0$, а $\frac{D_2}{4} = a + 2 < 0$. Значит, $g(x) < 0$ при всех $x$, и второе неравенство не имеет решений. * При $a = -2$: $\frac{D_2}{4} = 0$, второе неравенство принимает вид: $$ -x^2 \geqslant 0 \implies x = 0 $$ Подставим $x = 0$ в первое неравенство при $a = -2$: $$ f(0) = a + 5 = 3 \leqslant 0 \quad \text{— ложно.} $$ Система решений не имеет. * При $-1 < a < 0$: Для первого неравенства $a < 0$, $\frac{D_1}{4} = 1 - 3a > 0$, решением является $(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty)$. Для второго неравенства $a + 1 > 0$, $\frac{D_2}{4} = a + 2 > 0$, решением является $(-\infty; y_1] \cup [y_2; +\infty)$. Пересечение двух таких множеств содержит луч при $x \to -\infty$, следовательно, система имеет бесконечно много решений. * При $-2 < a < -1$: Для первого неравенства $a < 0$, $\frac{D_1}{4} = 1 - 3a > 0$, решение: $(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty)$. Для второго неравенства $a + 1 < 0$, $\frac{D_2}{4} = a + 2 > 0$, решение — отрезок $[y_1; y_2]$. Пересечение отрезка $[y_1; y_2]$ с объединением лучей $(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty)$ состоит из единственной точки тогда и только тогда, когда отрезок $[y_1; y_2]$ лежит внутри интервала $(x_1; x_2)$, касаясь его в граничной точке (то есть $y_1 = x_1$ или $y_2 = x_2$). Это требует наличия общего корня. При $-2 < a < -1$ возможным общим корнем является только $x = -1$: $$ f(-1) = a + 2(a+1) + a + 5 = 4a + 7 = 0 \implies a = -\frac{7}{4} = -1{,}75 $$ Значение $-1{,}75 \in (-2; -1)$. Проверим $a = -\frac{7}{4}$: $$ f(x) \leqslant 0 \iff -\frac{1}{4}(x + 1)(7x - 13) \leqslant 0 \iff x \in (-\infty; -1] \cup \left[\frac{13}{7}; +\infty\right) $$ $$ g(x) \geqslant 0 \iff -\frac{1}{4}(x + 1)(3x - 1) \geqslant 0 \iff x \in \left[-1; \frac{1}{3}\right] $$ Так как $\frac{1}{3} < \frac{13}{7}$, пересечением множеств является ровно одна точка: $$ x \in \left[-1; \frac{1}{3}\right] \cap \left((-\infty; -1] \cup \left[\frac{13}{7}; +\infty\right)\right) = \{-1\} $$ Следовательно, $a = -\frac{7}{4}$ подходит. Ответ: $a = -\frac{7}{4}$, $a = \frac{1}{3}$.