ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 2 - 15

**а)** Функция $y = \sin x + \cos x$ непрерывна на всей числовой прямой, поэтому значение предела равно значению функции в точке $x = \frac{\pi}{2}$: $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) = \sin\frac{\pi}{2} + \cos\frac{\pi}{2} = 1 + 0 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **б)** Функция $y = x^4 - 2x^2 + x + 1$ является многочленом и непрерывна при всех $x \in \mathbb{R}$. Находим предел непосредственной подстановкой: $$ \lim_{x \to 1} (x^4 - 2x^2 + x + 1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 1 = 1 - 2 + 1 + 1 = 1 $$ Ответ: $1$. --- **в)** Подстановка $x = 1$ приводит к неопределенности вида $\left[\frac{0}{0}\right]$. Разложим числитель на множители по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ \lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1} $$ Так как $x \to 1$, то $x \neq 1$, и дробь можно сократить на $(x - 1)$: $$ \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 $$ Ответ: $3$. --- **г)** Сделаем замену переменной: пусть $t = x + 2$. При $x \to -2$ переменная $t \to 0$. Используем первый замечательный предел $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$: $$ \lim_{x \to -2} \frac{\sin(x + 2)}{x + 2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $$ Ответ: $1$. --- **д)** Воспользуемся тригонометрической формулой $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$: $$ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2 \cdot \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 $$ По первому замечательному пределу $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, следовательно: $$ 2 \cdot 1^2 = 2 $$ Ответ: $2$. --- **е)** Предел имеет неопределенность вида $[1^\infty]$. Воспользуемся вторым замечательным пределом в виде $\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$. Преобразуем показатель степени: $$ \lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left((1 + 3x)^{\frac{1}{3x}}\right)^3 $$ Пусть $t = 3x$, тогда при $x \to 0$ получаем $t \to 0$: $$ \left(\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}}\right)^3 = e^3 $$ Ответ: $e^3$. --- **ж)** Предел вида $[1^\infty]$. Воспользуемся вторым замечательным пределом: $$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} = \lim_{x \to 0} \left(\left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{3x}}\right)^3 $$ Так как при $x \to 0$ величина $t = \frac{3x}{2} \to 0$, то $\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$: $$ \lim_{x \to 0} \left(\left(1 + \frac{3x}{2}\right)^{\frac{2}{3x}}\right)^3 = e^3 $$ Ответ: $e^3$. --- **з)** Преобразуем основание степени: $$ \frac{2 + x}{2} = 1 + \frac{x}{2} $$ Предел принимает вид: $$ \lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{4}{x}} $$ Выделим второй замечательный предел: $$ \lim_{x \to 0} \left(\left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}\right)^2 $$ Так как $\frac{x}{2} \to 0$ при $x \to 0$, то $\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{2}{x}} = e$. Следовательно: $$ \lim_{x \to 0} \left(\left(1 + \frac{x}{2}\right)^{\frac{2}{x}}\right)^2 = e^2 $$ Ответ: $e^2$.