ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень задача для повторения - 191

### а) Решите неравенство: $$ \frac{4}{|x+2|} \ge 3 - x $$ Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю, то есть $|x+2| \ne 0 \iff x \ne -2$. Так как $|x+2| > 0$ при всех $x \ne -2$, умножим обе части неравенства на положительное выражение $|x+2|$, при этом знак неравенства сохраняется: $$ (3 - x)|x+2| \le 4 $$ Раскроем модуль, рассмотрев два случая. **1. Случай $x + 2 > 0$, то есть $x > -2$:** В этом случае $|x+2| = x+2$. Неравенство принимает вид: $$ (3 - x)(x + 2) \le 4 $$ Раскроем скобки: $$ 3x + 6 - x^2 - 2x \le 4 $$ $$ -x^2 + x + 2 \le 0 $$ Умножим на $-1$, изменив знак неравенства: $$ x^2 - x - 2 \ge 0 $$ Разложим левую часть на множители: $$ (x - 2)(x + 1) \ge 0 $$ Решением данного квадратного неравенства является объединение лучей: $x \le -1$ или $x \ge 2$. С учетом условия $x > -2$ получаем: $$ x \in (-2; -1] \cup [2; +\infty) $$ **2. Случай $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$:** В этом случае $|x+2| = -(x+2)$. Неравенство принимает вид: $$ -(3 - x)(x + 2) \le 4 $$ $$ (x - 3)(x + 2) \le 4 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 - x - 6 \le 4 $$ $$ x^2 - x - 10 \le 0 $$ Найдем корни уравнения $x^2 - x - 10 = 0$: $$ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41 $$ $$ x_1 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$ Решением неравенства $x^2 - x - 10 \le 0$ является отрезок: $$ \frac{1 - \sqrt{41}}{2} \le x \le \frac{1 + \sqrt{41}}{2} $$ Сравним корень $\frac{1 - \sqrt{41}}{2}$ с числом $-2$: так как $\sqrt{41} > 5$, то $1 - \sqrt{41} < -4$, следовательно, $\frac{1 - \sqrt{41}}{2} < -2$. С учетом условия $x < -2$ получаем: $$ x \in \left[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}; -2\right) $$ Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение неравенства: $$ x \in \left[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}; -2\right) \cup (-2; -1] \cup [2; +\infty) $$ **Ответ:** $\left[\frac{1 - \sqrt{41}}{2}; -2\right) \cup (-2; -1] \cup [2; +\infty)$. --- ### б) Решите неравенство: $$ \frac{3}{|x-1|} \ge 2x + 5 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $|x-1| \ne 0 \iff x \ne 1$. Так как $|x-1| > 0$ при всех $x \ne 1$, умножим обе части неравенства на $|x-1|$: $$ (2x + 5)|x - 1| \le 3 $$ Рассмотрим два случая раскрытия модуля. **1. Случай $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$:** В этом случае $|x-1| = x - 1$. Неравенство принимает вид: $$ (2x + 5)(x - 1) \le 3 $$ Раскроем скобки: $$ 2x^2 - 2x + 5x - 5 \le 3 $$ $$ 2x^2 + 3x - 8 \le 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 8 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 9 + 64 = 73 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{4} $$ Решение неравенства: $$ \frac{-3 - \sqrt{73}}{4} \le x \le \frac{-3 + \sqrt{73}}{4} $$ Так как $\sqrt{73} > 7$, то $\frac{-3 + \sqrt{73}}{4} > \frac{-3 + 7}{4} = 1$. С учетом условия $x > 1$ получаем: $$ x \in \left(1; \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}\right] $$ **2. Случай $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:** В этом случае $|x-1| = -(x - 1) = 1 - x$. Неравенство принимает вид: $$ (2x + 5)(1 - x) \le 3 $$ Раскроем скобки: $$ 2x - 2x^2 + 5 - 5x \le 3 $$ $$ -2x^2 - 3x + 2 \le 0 $$ Умножим на $-1$, изменив знак неравенства: $$ 2x^2 + 3x - 2 \ge 0 $$ Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 2 = 0$: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} $$ Разложим на множители: $$ (x + 2)(2x - 1) \ge 0 $$ Решение неравенства: $x \le -2$ или $x \ge \frac{1}{2}$. С учетом условия $x < 1$ получаем: $$ x \in (-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right) $$ Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение неравенства: $$ x \in (-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right) \cup \left(1; \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}\right] $$ **Ответ:** $(-\infty; -2] \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right) \cup \left(1; \frac{-3 + \sqrt{73}}{4}\right]$.