ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 17 - 19

а) Вычислим значение выражения: $$ \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3} \right)}{\left( \sqrt{3} + i \right)^4} $$ 1. Преобразуем числитель. Представим множители в тригонометрической форме: $$ 16i = 16 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) $$ Выражение в скобках: $\sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$. Для числа $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ модуль равен $1$, а аргумент равен $-\frac{\pi}{6}$, следовательно: $$ \sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) $$ Перемножим их, складывая аргументы: $$ 16i \left( \sin \frac{\pi}{3} - i \cos \frac{\pi}{3} \right) = 16 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}\right) \right) = 16 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) $$ 2. Преобразуем знаменатель. Для комплексного числа $z = \sqrt{3} + i$: - модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$; - аргумент: $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \varphi = \frac{1}{2} \implies \varphi = \frac{\pi}{6}$. Получаем тригонометрическую форму: $$ \sqrt{3} + i = 2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) $$ По формуле Муавра возведем число в 4-ю степень: $$ (\sqrt{3} + i)^4 = 2^4 \left( \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \right) = 16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{16 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)}{16 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right)} = \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) $$ Переведем результат в алгебраическую форму: $$ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i $$ Ответ к пункту а: $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$. --- б) Вычислим значение выражения: $$ \frac{16i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2}{(i\sqrt{3} - i)^4} $$ 1. Преобразуем числитель: $$ \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} $$ По формуле Муавра: $$ \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2 = \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^2 = \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} $$ Умножим на $16i = 16 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right)$: $$ 16i \left( \sin \frac{\pi}{6} + i \cos \frac{\pi}{6} \right)^2 = 16 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) \right) = 16 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right) $$ В алгебраической форме: $$ 16 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i \right) = -8\sqrt{3} - 8i $$ 2. Преобразуем знаменатель: $$ i\sqrt{3} - i = i(\sqrt{3} - 1) $$ $$ (i\sqrt{3} - i)^4 = i^4 (\sqrt{3} - 1)^4 = 1 \cdot \left((\sqrt{3} - 1)^2\right)^2 $$ Раскроем скобки: $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$; $(4 - 2\sqrt{3})^2 = 16 - 16\sqrt{3} + 12 = 28 - 16\sqrt{3} = 4(7 - 4\sqrt{3})$. 3. Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{-8\sqrt{3} - 8i}{4(7 - 4\sqrt{3})} = \frac{-2\sqrt{3} - 2i}{7 - 4\sqrt{3}} $$ Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $7 + 4\sqrt{3}$: $$ \frac{(-2\sqrt{3} - 2i)(7 + 4\sqrt{3})}{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})} = \frac{-14\sqrt{3} - 24 - 14i - 8\sqrt{3}i}{49 - 48} = -(24 + 14\sqrt{3}) - (14 + 8\sqrt{3})i $$ *Примечание:* В учебнике в знаменателе пункта б часто встречается опечатка, и исходным выражением является $(\sqrt{3} - i)^4$ (по аналогии с пунктом а). В этом случае: $$ \sqrt{3} - i = 2 \left( \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \right) $$ $$ (\sqrt{3} - i)^4 = 2^4 \left( \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right) = 16 \left( \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right) $$ Тогда результат деления: $$ \frac{16 \left( \cos \frac{7\pi}{6} + i \sin \frac{7\pi}{6} \right)}{16 \left( \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right)} = \cos\left(\frac{7\pi}{6} - \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) + i \sin\left(\frac{7\pi}{6} - \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) $$ $$ = \cos \frac{11\pi}{6} + i \sin \frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i $$ Ответ к пункту б: $-(24 + 14\sqrt{3}) - (14 + 8\sqrt{3})i$ (если в знаменателе $(\sqrt{3} - i)^4$, то $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$).