ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 16 - 18

a) $(3 + 2i) : (1 + 5i)$ Для деления одного комплексного числа на другое умножим делимое и делитель на число, сопряжённое делителю, то есть на $(1 - 5i)$: $$ \frac{3 + 2i}{1 + 5i} = \frac{(3 + 2i)(1 - 5i)}{(1 + 5i)(1 - 5i)} $$ Раскроем скобки в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе, учитывая, что $i^2 = -1$: $$ \frac{3 \cdot 1 - 3 \cdot 5i + 2i \cdot 1 - 2i \cdot 5i}{1^2 - (5i)^2} = \frac{3 - 15i + 2i - 10i^2}{1 - 25i^2} = \frac{3 - 13i + 10}{1 + 25} = \frac{13 - 13i}{26} $$ Почленно разделим числитель на знаменатель и сократим дроби: $$ \frac{13}{26} - \frac{13}{26}i = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}i = 0{,}5 - 0{,}5i $$ Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$ (или $0{,}5 - 0{,}5i$). --- b) $(-5 + i) : (1 - 4i)$ Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряжённое к знаменателю выражение $(1 + 4i)$: $$ \frac{-5 + i}{1 - 4i} = \frac{(-5 + i)(1 + 4i)}{(1 - 4i)(1 + 4i)} $$ Выполним умножение в числителе и знаменателе: $$ \frac{-5 \cdot 1 - 5 \cdot 4i + i \cdot 1 + 4i^2}{1^2 - (4i)^2} = \frac{-5 - 20i + i - 4}{1 - 16(-1)} = \frac{-9 - 19i}{1 + 16} = \frac{-9 - 19i}{17} $$ Запишем результат в алгебраической форме: $$ -\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i $$ Ответ: $-\frac{9}{17} - \frac{19}{17}i$. --- d) $(5 + 7i) : (5 - i)$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $(5 + i)$: $$ \frac{5 + 7i}{5 - i} = \frac{(5 + 7i)(5 + i)}{(5 - i)(5 + i)} $$ Преобразуем числитель и знаменатель: $$ \frac{25 + 5i + 35i + 7i^2}{5^2 - i^2} = \frac{25 + 40i - 7}{25 - (-1)} = \frac{18 + 40i}{26} $$ Разделим почленно и сократим дробь на $2$: $$ \frac{18}{26} + \frac{40}{26}i = \frac{9}{13} + \frac{20}{13}i $$ Ответ: $\frac{9}{13} + \frac{20}{13}i$. --- 6) $(3 - 11i) : (4 + 15i)$ Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое число $(4 - 15i)$: $$ \frac{3 - 11i}{4 + 15i} = \frac{(3 - 11i)(4 - 15i)}{(4 + 15i)(4 - 15i)} $$ Раскрываем скобки: $$ \frac{12 - 45i - 44i + 165i^2}{4^2 - (15i)^2} = \frac{12 - 89i - 165}{16 - 225(-1)} = \frac{-153 - 89i}{16 + 225} = \frac{-153 - 89i}{241} $$ Запишем число в стандартном виде: $$ -\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i $$ Ответ: $-\frac{153}{241} - \frac{89}{241}i$. --- r) $(8 + i) : (-8 + i)$ Умножим делимое и делитель на число, сопряжённое делителю, то есть на $(-8 - i)$: $$ \frac{8 + i}{-8 + i} = \frac{(8 + i)(-8 - i)}{(-8 + i)(-8 - i)} $$ Выполним умножение в числителе и применим формулу разности квадратов в знаменателе: $$ \frac{-64 - 8i - 8i - i^2}{(-8)^2 - i^2} = \frac{-64 - 16i - (-1)}{64 - (-1)} = \frac{-64 - 16i + 1}{64 + 1} = \frac{-63 - 16i}{65} $$ Запишем результат в алгебраической форме: $$ -\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i $$ Ответ: $-\frac{63}{65} - \frac{16}{65}i$. --- e) $(8 - i) : (8 - i)$ Так как делимое и делитель равны, а делитель отличен от нуля ($8 - i \neq 0$), результат деления равен единице: $$ \frac{8 - i}{8 - i} = 1 $$ Ответ: $1$.