ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 14 - 38

### а) $$ \begin{cases} 2x^2 + 1 = y - |\sin x| \\ \tan^2 x + y^2 = 1 \end{cases} $$ 1. Оценим переменную $y$ из второго уравнения системы: Так как $\tan^2 x \ge 0$, то: $$ y^2 = 1 - \tan^2 x \le 1 \implies -1 \le y \le 1 $$ Отсюда следует, что $y \le 1$. 2. Оценим переменную $y$ из первого уравнения системы: Выразим $y$: $$ y = 2x^2 + 1 + |\sin x| $$ Так как для любого $x$ справедливы неравенства $2x^2 \ge 0$ и $|\sin x| \ge 0$, получаем: $$ y = 2x^2 + 1 + |\sin x| \ge 0 + 1 + 0 = 1 \implies y \ge 1 $$ 3. Из полученных условий $y \le 1$ и $y \ge 1$ следует, что $y = 1$. 4. Подставим $y = 1$ в выражение для $y$: $$ 2x^2 + 1 + |\sin x| = 1 \iff 2x^2 + |\sin x| = 0 $$ Сумма двух неотрицательных величин равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из них равна нулю: $$ \begin{cases} 2x^2 = 0 \\ |\sin x| = 0 \end{cases} \iff x = 0 $$ 5. Проверим пару $(0; 1)$ во втором уравнении системы: $$ \tan^2 0 + 1^2 = 0 + 1 = 1 \quad \text{— верно.} $$ **Ответ:** $(0; 1)$. --- ### б) $$ \begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$ 1. Из второго уравнения системы: $$ y^2 = 1 - x^2 \le 1 \implies -1 \le y \le 1 $$ Значит, $y \le 1$, а также $|x| \le 1$. 2. Из первого уравнения выразим $y$, учитывая, что $x^2 = |x|^2$: $$ y = 2^{|x|} + |x| - |x|^2 = 2^{|x|} + |x|(1 - |x|) $$ Так как $|x| \in [0; 1]$: * $|x| \ge 0 \implies 2^{|x|} \ge 2^0 = 1$, причем равенство $2^{|x|} = 1$ достигается только при $|x| = 0$; * $|x| \ge 0$ и $1 - |x| \ge 0 \implies |x|(1 - |x|) \ge 0$. Следовательно: $$ y = 2^{|x|} + |x|(1 - |x|) \ge 1 + 0 = 1 $$ 3. Так как одновременно $y \le 1$ и $y \ge 1$, то $y = 1$. 4. Равенство $y = 1$ возможно только при условии: $$ \begin{cases} 2^{|x|} = 1 \\ |x|(1 - |x|) = 0 \end{cases} \iff |x| = 0 \iff x = 0 $$ 5. Проверим пару $(0; 1)$ во втором уравнении: $$ 0^2 + 1^2 = 1 \quad \text{— верно.} $$ **Ответ:** $(0; 1)$. --- ### в) $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^5 + y^5 = 1 \end{cases} $$ 1. Из первого уравнения системы следует, что $x^2 \le 1$ и $y^2 \le 1$, откуда: $$ -1 \le x \le 1, \quad -1 \le y \le 1 $$ 2. Сравним $x^5$ и $x^2$ при условии $-1 \le x \le 1$: * Если $x \in [0; 1]$, то $x^3 \le 1 \implies x^5 = x^2 \cdot x^3 \le x^2 \cdot 1 = x^2$; * Если $x \in [-1; 0)$, то $x^5 < 0 \le x^2$. Таким образом, для всех $x \in [-1; 1]$ выполняется неравенство: $$ x^5 \le x^2 $$ Причем равенство $x^5 = x^2 \iff x^2(1 - x^3) = 0$ достигается только при $x = 0$ или $x = 1$. 3. Аналогично, для $y \in [-1; 1]$ выполняется неравенство: $$ y^5 \le y^2 $$ Равенство достигается только при $y = 0$ или $y = 1$. 4. Сложим полученные неравенства: $$ x^5 + y^5 \le x^2 + y^2 = 1 $$ По условию второго уравнения $x^5 + y^5 = 1$, значит, оба неравенства должны одновременно обращаться в равенства: $$ \begin{cases} x^5 = x^2 \\ y^5 = y^2 \end{cases} \implies x \in \{0; 1\} \quad \text{и} \quad y \in \{0; 1\} $$ 5. С учетом уравнения $x^2 + y^2 = 1$: * если $x = 0$, то $y^2 = 1 \implies y = 1$ (так как $y \in \{0; 1\}$); * если $x = 1$, то $y^2 = 0 \implies y = 0$. Получаем два решения: $(0; 1)$ и $(1; 0)$. **Ответ:** $(0; 1), (1; 0)$.