ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 37

**13.37** **а)** Решим неравенство: $3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \geqslant 11$. Оценим слагаемые в левой части неравенства: так как $0 \leqslant \sin^8 2x \leqslant 1$ и $-1 \leqslant \cos^7 4x \leqslant 1$ для любых действительных значений $x$, то: $3 \sin^8 2x \leqslant 3$, $-8 \cos^7 4x \leqslant -8 \cdot (-1) = 8$. Сложив эти неравенства, получаем: $$ 3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \leqslant 3 + 8 = 11 $$ Следовательно, исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда левая часть равна $11$, что возможно лишь при одновременном выполнении условий: $$ \begin{cases} \sin^8 2x = 1, \\ \cos^7 4x = -1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \sin^2 2x = 1, \\ \cos 4x = -1 \end{cases} $$ По формуле косинуса двойного угла: $\cos 4x = 1 - 2 \sin^2 2x$. Если $\sin^2 2x = 1$, то $\cos 4x = 1 - 2 \cdot 1 = -1$, то есть второе уравнение системы выполняется автоматически. Решим уравнение $\sin^2 2x = 1$: $$ \cos 2x = 0 $$ $$ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **б)** Решим неравенство: $11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \leqslant -13$. Оценим левую часть неравенства снизу. Так как $\sin^7 3x \geqslant -1$ и $\cos^4 2x \leqslant 1$, имеем: $11 \sin^7 3x \geqslant -11$, $-2 \cos^4 2x \geqslant -2$. Сложив неравенства, получаем: $$ 11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \geqslant -11 - 2 = -13 $$ Следовательно, исходное неравенство выполняется тогда и только тогда, когда: $$ \begin{cases} \sin^7 3x = -1, \\ \cos^4 2x = 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \sin 3x = -1, \\ \cos^2 2x = 1 \end{cases} $$ Решим первое уравнение: $$ 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Решим второе уравнение: $\cos^2 2x = 1 \iff \sin 2x = 0$: $$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Найдем пересечение решений: $$ -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2} $$ Умножим обе части равенства на $\frac{6}{\pi}$: $$ -1 + 4k = 3n \implies 3n = 4k - 1 $$ Так как левая часть делится на $3$, число $4k - 1$ также должно делиться на $3$: $4k - 1 = 3k + (k - 1) \implies (k - 1)$ кратно $3$, то есть $k = 3m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим $k = 3m + 1$ в формулу для $x$: $$ x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(3m + 1)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi m = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$. --- **в)** Решим неравенство: $5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \leqslant -14$. Оценим левую часть неравенства снизу: так как $\sin^7 2x \geqslant -1$ и $\cos^4 4x \leqslant 1$, то: $5 \sin^7 2x \geqslant -5$, $-9 \cos^4 4x \geqslant -9$. Следовательно: $$ 5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \geqslant -5 - 9 = -14 $$ Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда достигается равенство: $$ \begin{cases} \sin^7 2x = -1, \\ \cos^4 4x = 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \sin 2x = -1, \\ \cos^2 4x = 1 \end{cases} $$ Если $\sin 2x = -1$, то: $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x = 1 - 2(-1)^2 = -1 \implies \cos^2 4x = (-1)^2 = 1$. Таким образом, второе уравнение удовлетворяется автоматически. Решим уравнение $\sin 2x = -1$: $$ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$. --- **г)** Решим неравенство: $13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \geqslant 15$. Оценим левую часть неравенства сверху: так как $\sin^4 3x \leqslant 1$ и $\cos^8 2x \leqslant 1$, то: $13 \sin^4 3x \leqslant 13$, $2 \cos^8 2x \leqslant 2$. Сложив эти неравенства, получаем: $$ 13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \leqslant 13 + 2 = 15 $$ Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда левая часть равна $15$: $$ \begin{cases} \sin^4 3x = 1, \\ \cos^8 2x = 1 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} \sin^2 3x = 1, \\ \cos^2 2x = 1 \end{cases} $$ Решим первое уравнение системы: $\sin^2 3x = 1 \iff \cos 3x = 0$: $$ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Решим второе уравнение системы: $\cos^2 2x = 1 \iff \sin 2x = 0$: $$ 2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Найдем общие решения: $$ \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2} $$ Умножим обе части равенства на $\frac{6}{\pi}$: $$ 1 + 2k = 3n $$ Левая часть $1 + 2k$ нечетна при любом целом $k$, следовательно, число $3n$ нечетно, то есть $n$ — нечетное число: $n = 2m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим $n = 2m + 1$ в формулу для $x$: $$ x = \frac{\pi(2m + 1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Проверим полученные значения: при $x = \frac{\pi}{2} + \pi m$: $\sin^2 3x = \sin^2\left(\frac{3\pi}{2} + 3\pi m\right) = (-1)^{2} = 1$, $\cos^2 2x = \cos^2(\pi + 2\pi m) = (-1)^2 = 1$. Оба уравнения удовлетворяются. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.