ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 13 - 17

**13.17** **а)** Дано уравнение: $$ 2 \cos^2(x \sin x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| $$ Оценим значения левой и правой частей уравнения (метод оценки). 1. Для левой части уравнения: Так как для любого значения аргумента $0 \le \cos^2(x \sin x) \le 1$, то: $$ 2 \cos^2(x \sin x) \le 2 $$ 2. Для правой части уравнения: По определению модуля, выражение под знаком модуля неотрицательно: $|\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$. Следовательно: $$ 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 2 $$ 3. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны $2$: $$ \begin{cases} 2 \cos^2(x \sin x) = 2, \\ 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 2 \end{cases} $$ Решим второе уравнение системы: $$ |\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 0 $$ $$ \log_2(x^2 - 4x + 1) = 0 $$ $$ x^2 - 4x + 1 = 1 $$ $$ x^2 - 4x = 0 $$ $$ x(x - 4) = 0 \implies x_1 = 0, \quad x_2 = 4 $$ Проверим найденные значения $x$ в первом уравнении системы: $\cos^2(x \sin x) = 1$, что равносильно $x \sin x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. * При $x = 0$: $0 \cdot \sin 0 = 0 = \pi \cdot 0$ — равенство верно ($k = 0$). Значит, $x = 0$ является решением системы. * При $x = 4$: $4 \sin 4 \neq \pi k$ при $k \in \mathbb{Z}$, так как $\sin 4 \approx -0{,}7568$, $4 \sin 4 \approx -3{,}027 \neq -\pi \approx -3{,}1416$. Значит, $x = 4$ не является решением. Ответ: $0$. --- **б)** Дано уравнение: $$ 3 \sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) $$ Применим метод оценки левой и правой частей. 1. Для левой части уравнения: Так как $0 \le \sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) \le 1$, получаем: $$ 3 \sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) \le 3 $$ 2. Для правой части уравнения: Выделим полный квадрат в подлогарифмическом выражении: $$ x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1 $$ Так как $(x - 3)^2 \ge 0$, то $x^2 - 6x + 10 \ge 1$. Функция $y = \log_3 t$ возрастает, поэтому при $t \ge 1$ выполняется $\log_3 t \ge \log_3 1 = 0$. Тогда: $$ 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) \ge 3 $$ 3. Равенство возможно только в случае, когда обе части уравнения одновременно равны $3$: $$ \begin{cases} 3 \sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3, \\ 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3 \end{cases} $$ Решим второе уравнение системы: $$ \log_3(x^2 - 6x + 10) = 0 $$ $$ (x - 3)^2 + 1 = 1 $$ $$ (x - 3)^2 = 0 \implies x = 3 $$ Проверим значение $x = 3$ в первом уравнении системы: $$ \frac{\pi \cdot 3}{2} \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{3\pi}{2} \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{2} $$ $$ 3 \sin^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 3 \cdot (-(-1))^2 = 3 \cdot 1^2 = 3 $$ Равенство $3 = 3$ выполняется, следовательно, $x = 3$ является решением. Ответ: $3$.