ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 12 - 14

### а) $$\frac{|x-1|}{x-1}+\frac{|x-2|}{x-2}\geqslant0$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} x - 1 \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 2 \end{cases}$$ По определению модуля для любого $a \neq 0$: $$\frac{|a|}{a} = \begin{cases} 1, & a > 0 \\ -1, & a < 0 \end{cases}$$ Рассмотрим неравенство на интервалах, на которые точки $x = 1$ и $x = 2$ делят числовую прямую: 1. При $x \in (-\infty; 1)$: $x - 1 < 0$ и $x - 2 < 0$, поэтому $$\frac{|x-1|}{x-1} = -1, \quad \frac{|x-2|}{x-2} = -1$$ Неравенство принимает вид: $$-1 + (-1) \geqslant 0 \iff -2 \geqslant 0 \quad \text{— неверно.}$$ На этом промежутке решений нет. 2. При $x \in (1; 2)$: $x - 1 > 0$ и $x - 2 < 0$, поэтому $$\frac{|x-1|}{x-1} = 1, \quad \frac{|x-2|}{x-2} = -1$$ Неравенство принимает вид: $$1 + (-1) \geqslant 0 \iff 0 \geqslant 0 \quad \text{— верно.}$$ Следовательно, промежуток $(1; 2)$ является решением. 3. При $x \in (2; +\infty)$: $x - 1 > 0$ и $x - 2 > 0$, поэтому $$\frac{|x-1|}{x-1} = 1, \quad \frac{|x-2|}{x-2} = 1$$ Неравенство принимает вид: $$1 + 1 \geqslant 0 \iff 2 \geqslant 0 \quad \text{— верно.}$$ Следовательно, промежуток $(2; +\infty)$ является решением. Ответ: $x \in (1; 2) \cup (2; +\infty)$. --- ### б) $$\frac{|x-5|}{x-5}+\frac{|x-6|}{x-6}\geqslant2$$ ОДЗ: $x \neq 5$, $x \neq 6$. Рассмотрим промежутки знакопостоянства выражений под модулями: 1. При $x \in (-\infty; 5)$: $x - 5 < 0$ и $x - 6 < 0$, тогда: $$-1 + (-1) \geqslant 2 \iff -2 \geqslant 2 \quad \text{— неверно.}$$ 2. При $x \in (5; 6)$: $x - 5 > 0$ и $x - 6 < 0$, тогда: $$1 + (-1) \geqslant 2 \iff 0 \geqslant 2 \quad \text{— неверно.}$$ 3. При $x \in (6; +\infty)$: $x - 5 > 0$ и $x - 6 > 0$, тогда: $$1 + 1 \geqslant 2 \iff 2 \geqslant 2 \quad \text{— верно.}$$ Следовательно, промежуток $(6; +\infty)$ является решением. Ответ: $x \in (6; +\infty)$. --- ### в) $$\frac{|x-5|-|x-3|}{|x-2|+x-2}\geqslant0$$ ОДЗ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $$|x-2| + x - 2 \neq 0$$ Исследуем знаменатель: - если $x \leqslant 2$, то $|x-2| = -(x-2)$, и знаменатель равен $-(x-2) + x - 2 = 0$. Значит, при $x \leqslant 2$ выражение не имеет смысла; - если $x > 2$, то $|x-2| = x-2$, и знаменатель равен $(x-2) + x - 2 = 2(x-2) > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 2$. Так как на ОДЗ знаменатель строго положителен, исходная дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда числитель неотрицателен: $$|x-5| - |x-3| \geqslant 0 \iff |x-5| \geqslant |x-3|$$ Обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(x-5)^2 \geqslant (x-3)^2$$ $$x^2 - 10x + 25 \geqslant x^2 - 6x + 9$$ $$-10x + 6x \geqslant 9 - 25$$ $$-4x \geqslant -16$$ $$x \leqslant 4$$ Учитывая ОДЗ ($x > 2$), получаем: $$2 < x \leqslant 4$$ Ответ: $x \in (2; 4]$. --- ### г) $$\frac{|x-7|-|x-3|}{x-8-|x-8|}\geqslant0$$ ОДЗ: знаменатель не равен нулю: $$x - 8 - |x-8| \neq 0$$ Исследуем знаменатель: - если $x \geqslant 8$, то $|x-8| = x-8$, и знаменатель равен $(x-8) - (x-8) = 0$. Значит, при $x \geqslant 8$ выражение не определено; - если $x < 8$, то $|x-8| = -(x-8)$, и знаменатель равен $(x-8) - (-(x-8)) = 2(x-8) < 0$. Таким образом, ОДЗ: $x < 8$. Так как на ОДЗ знаменатель строго отрицателен, исходная дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда числитель неположителен: $$|x-7| - |x-3| \leqslant 0 \iff |x-7| \leqslant |x-3|$$ Обе части неравенства неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(x-7)^2 \leqslant (x-3)^2$$ $$x^2 - 14x + 49 \leqslant x^2 - 6x + 9$$ $$-14x + 6x \leqslant 9 - 49$$ $$-8x \leqslant -40$$ $$x \geqslant 5$$ С учётом ОДЗ ($x < 8$), получаем: $$5 \leqslant x < 8$$ Ответ: $x \in [5; 8)$.