ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 11 - 44

а) $\log_{x} \frac{7x - 2}{2 - x} < 0$ 1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ): $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \dfrac{7x - 2}{2 - x} > 0 \end{cases} $$ Решим неравенство $\dfrac{7x - 2}{-(x - 2)} > 0 \iff \dfrac{7x - 2}{x - 2} < 0$. Корни числителя и знаменателя: $x = \dfrac{2}{7}$ и $x = 2$. Методом интервалов получаем: $x \in \left(\dfrac{2}{7}; 2\right)$. С учётом условий для основания логарифма: $$ x \in \left(\dfrac{2}{7}; 1\right) \cup (1; 2) $$ 2. Применим метод рационализации: знак логарифма $\log_a b$ на ОДЗ совпадает со знаком произведения $(a - 1)(b - 1)$. $$ (x - 1)\left(\frac{7x - 2}{2 - x} - 1\right) < 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{7x - 2 - (2 - x)}{2 - x} < 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{8x - 4}{2 - x} < 0 $$ $$ \frac{4(x - 1)(2x - 1)}{-(x - 2)} < 0 \iff \frac{(x - 1)(2x - 1)}{x - 2} > 0 $$ Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $\dfrac{1}{2}$, $1$, $2$. Получаем: $$ x \in \left(\frac{1}{2}; 1\right) \cup (2; +\infty) $$ 3. Пересечём полученное множество с ОДЗ: Так как $\dfrac{2}{7} < \dfrac{1}{2}$, то пересечением с $\left(\dfrac{2}{7}; 1\right) \cup (1; 2)$ является интервал $\left(\dfrac{1}{2}; 1\right)$. Ответ: $\left(\dfrac{1}{2}; 1\right)$. --- б) $\log_{x} \frac{3x - 1}{14x - 5} > 0$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \dfrac{3x - 1}{14x - 5} > 0 \end{cases} $$ Корни числителя и знаменателя: $x = \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{15}$ и $x = \dfrac{5}{14}$. Так как $\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{14}$, то $\dfrac{3x - 1}{14x - 5} > 0 \iff x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{3}\right) \cup \left(\dfrac{5}{14}; +\infty\right)$. С учётом $x > 0$ и $x \neq 1$: $$ x \in \left(0; \frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{5}{14}; 1\right) \cup (1; +\infty) $$ 2. Применим метод рационализации: $$ (x - 1)\left(\frac{3x - 1}{14x - 5} - 1\right) > 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{3x - 1 - (14x - 5)}{14x - 5} > 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{-11x + 4}{14x - 5} > 0 \iff \frac{(x - 1)(11x - 4)}{14x - 5} < 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $\dfrac{5}{14}$, $\dfrac{4}{11}$, $1$. Сравним дроби: $\dfrac{5}{14} = \dfrac{55}{154}$, а $\dfrac{4}{11} = \dfrac{56}{154}$, поэтому $\dfrac{5}{14} < \dfrac{4}{11} < 1$. Методом интервалов получаем: $$ x \in \left(-\infty; \frac{5}{14}\right) \cup \left(\frac{4}{11}; 1\right) $$ 3. Пересечём с ОДЗ: - На промежутке $\left(-\infty; \dfrac{5}{14}\right)$ с учётом ОДЗ остаётся $\left(0; \dfrac{1}{3}\right)$. - Промежуток $\left(\dfrac{4}{11}; 1\right)$ целиком лежит внутри интервала ОДЗ $\left(\dfrac{5}{14}; 1\right)$. Ответ: $\left(0; \dfrac{1}{3}\right) \cup \left(\dfrac{4}{11}; 1\right)$. --- в) $\log_{x} \frac{6x - 1}{13x - 7} < 0$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \dfrac{6x - 1}{13x - 7} > 0 \end{cases} $$ Корни числителя и знаменателя: $x = \dfrac{1}{6}$ и $x = \dfrac{7}{13}$. Так как $\dfrac{1}{6} < \dfrac{7}{13}$, то $\dfrac{6x - 1}{13x - 7} > 0 \iff x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{6}\right) \cup \left(\dfrac{7}{13}; +\infty\right)$. С учётом $x > 0$ и $x \neq 1$: $$ x \in \left(0; \frac{1}{6}\right) \cup \left(\frac{7}{13}; 1\right) \cup (1; +\infty) $$ 2. Применим метод рационализации: $$ (x - 1)\left(\frac{6x - 1}{13x - 7} - 1\right) < 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{6x - 1 - (13x - 7)}{13x - 7} < 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{-7x + 6}{13x - 7} < 0 \iff \frac{(x - 1)(7x - 6)}{13x - 7} > 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $\dfrac{7}{13}$, $\dfrac{6}{7}$, $1$. Так как $\dfrac{7}{13} < \dfrac{6}{7} < 1$, методом интервалов получаем: $$ x \in \left(\frac{7}{13}; \frac{6}{7}\right) \cup (1; +\infty) $$ 3. Пересечём с ОДЗ: - Интервал $\left(\dfrac{7}{13}; \dfrac{6}{7}\right)$ полностью принадлежит интервалу $\left(\dfrac{7}{13}; 1\right)$ из ОДЗ. - Интервал $(1; +\infty)$ полностью входит в ОДЗ. Ответ: $\left(\dfrac{7}{13}; \dfrac{6}{7}\right) \cup (1; +\infty)$. --- г) $\log_{x} \frac{16x - 11}{5x - 1} > 0$ 1. Найдём ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \\ \dfrac{16x - 11}{5x - 1} > 0 \end{cases} $$ Корни числителя и знаменателя: $x = \dfrac{1}{5}$ и $x = \dfrac{11}{16}$. Так как $\dfrac{1}{5} < \dfrac{11}{16}$, то $\dfrac{16x - 11}{5x - 1} > 0 \iff x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{5}\right) \cup \left(\dfrac{11}{16}; +\infty\right)$. С учётом $x > 0$ и $x \neq 1$: $$ x \in \left(0; \frac{1}{5}\right) \cup \left(\frac{11}{16}; 1\right) \cup (1; +\infty) $$ 2. Применим метод рационализации: $$ (x - 1)\left(\frac{16x - 11}{5x - 1} - 1\right) > 0 $$ $$ (x - 1) \cdot \frac{16x - 11 - (5x - 1)}{5x - 1} > 0 $$ $$ \frac{(x - 1)(11x - 10)}{5x - 1} > 0 $$ Нули числителя и знаменателя: $\dfrac{1}{5}$, $\dfrac{10}{11}$, $1$. Так как $\dfrac{1}{5} < \dfrac{10}{11} < 1$, методом интервалов получаем: $$ x \in \left(\frac{1}{5}; \frac{10}{11}\right) \cup (1; +\infty) $$ 3. Пересечём с ОДЗ: Сравним $\dfrac{11}{16}$ и $\dfrac{10}{11}$: $\dfrac{11}{16} = \dfrac{121}{176} < \dfrac{160}{176} = \dfrac{10}{11}$. Поэтому пересечением промежутка $\left(\dfrac{1}{5}; \dfrac{10}{11}\right)$ с областью допустимых значений будет интервал $\left(\dfrac{11}{16}; \dfrac{10}{11}\right)$. Промежуток $(1; +\infty)$ входит в ОДЗ полностью. Ответ: $\left(\dfrac{11}{16}; \dfrac{10}{11}\right) \cup (1; +\infty)$.