ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 51

### а) $x^4 + x^3 + x^2 - 3x = 0$, $[-2; 0]$ 1. Найдем все действительные корни уравнения. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^3 + x^2 + x - 3) = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x^3 + x^2 + x - 3 = 0$. Для кубического уравнения найдем целый корень среди делителей свободного члена $-3$ ($\pm 1, \pm 3$). Подставим $x = 1$: $$ 1^3 + 1^2 + 1 - 3 = 1 + 1 + 1 - 3 = 0 $$ Значит, $x = 1$ является корнем многочлена. Разложим кубический многочлен на множители способом группировки: $$ x^3 - x^2 + 2x^2 - 2x + 3x - 3 = 0 $$ $$ x^2(x - 1) + 2x(x - 1) + 3(x - 1) = 0 $$ $$ (x - 1)(x^2 + 2x + 3) = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 + 2x + 3 = 0 $$ $$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 < 0 $$ Так как дискриминант меньше нуля, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. 2. Проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку $[-2; 0]$: * $x = 0 \in [-2; 0]$ (является правой границей отрезка); * $x = 1 \notin [-2; 0]$. **Ответ к пункту а):** $0$. --- ### б) $x^4 + x^3 + x^2 - 14x = 0$, $[3; 7]$ 1. Найдем все действительные корни уравнения. Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x^3 + x^2 + x - 14) = 0 $$ Отсюда $x = 0$ или $x^3 + x^2 + x - 14 = 0$. Найдем корень кубического уравнения среди делителей свободного члена $-14$ ($\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$). Подставим $x = 2$: $$ 2^3 + 2^2 + 2 - 14 = 8 + 4 + 2 - 14 = 0 $$ Значит, $x = 2$ — корень уравнения. Разложим многочлен на множители с помощью группировки: $$ x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 6x + 7x - 14 = 0 $$ $$ x^2(x - 2) + 3x(x - 2) + 7(x - 2) = 0 $$ $$ (x - 2)(x^2 + 3x + 7) = 0 $$ Решим квадратное уравнение: $$ x^2 + 3x + 7 = 0 $$ $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 9 - 28 = -19 < 0 $$ Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет. Таким образом, действительными корнями уравнения являются только $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. 2. Проверим, принадлежат ли найденные корни отрезку $[3; 7]$: * $x = 0 \notin [3; 7]$; * $x = 2 \notin [3; 7]$. Ни один из корней не принадлежит заданному отрезку. **Ответ к пункту б):** нет корней.