ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 37

### а) $\lg(x-1) + \sqrt{9-x^2} = \lg(x-1) + \sqrt{x+5}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} x - 1 > 0, \\ 9 - x^2 \ge 0, \\ x + 5 \ge 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x > 1, \\ -3 \le x \le 3, \\ x \ge -5. \end{cases} $$ Пересекая полученные промежутки, получаем: $x \in (1; 3]$. На ОДЗ вычтем выражение $\lg(x-1)$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{9-x^2} = \sqrt{x+5} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 9 - x^2 = x + 5 $$ $$ x^2 + x - 4 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} $$ Проверим принадлежность корней ОДЗ ($1 < x \le 3$): 1. Для $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$: Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $3 < -1 + \sqrt{17} < 4$, откуда: $$ 1{,}5 < \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} < 2 $$ Значит, $x_1 \in (1; 3]$ — корень уравнения. 2. Для $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$: Так как $\sqrt{17} > 0$, то $x_2 < 0$, следовательно, $x_2 \notin (1; 3]$ — посторонний корень. Ответ: $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$. --- ### б) $\lg(1-x) + \sqrt{25-x^2} = \lg(1-x) + \sqrt{x+16}$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения: $$ \begin{cases} 1 - x > 0, \\ 25 - x^2 \ge 0, \\ x + 16 \ge 0; \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x < 1, \\ -5 \le x \le 5, \\ x \ge -16. \end{cases} $$ Пересекая полученные промежутки, получаем: $x \in [-5; 1)$. На ОДЗ вычтем выражение $\lg(1-x)$ из обеих частей уравнения: $$ \sqrt{25-x^2} = \sqrt{x+16} $$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$ 25 - x^2 = x + 16 $$ $$ x^2 + x - 9 = 0 $$ Найдем корни через дискриминант: $$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 1 + 36 = 37 $$ $$ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{2} $$ Проверим принадлежность корней ОДЗ ($-5 \le x < 1$): 1. Для $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{37}}{2}$: Так как $6 < \sqrt{37} < 7$, то: $$ x_1 > \frac{-1 + 6}{2} = 2{,}5 > 1 $$ Следовательно, $x_1 \notin [-5; 1)$ — посторонний корень. 2. Для $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$: Так как $6 < \sqrt{37} < 7$, то: $$ -4 = \frac{-1 - 7}{2} < x_2 < \frac{-1 - 6}{2} = -3{,}5 $$ Значит, $x_2 \in [-5; 1)$ — корень уравнения. Ответ: $\frac{-1 - \sqrt{37}}{2}$.