ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 10 - 32

**а)** Решим уравнение: $$\sqrt{2x+1} = 2\sqrt{x-1} + 1$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$\begin{cases} 2x+1 \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -\dfrac{1}{2} \\ x \ge 1 \end{cases} \iff x \ge 1$$ Так как обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(\sqrt{2x+1})^2 = (2\sqrt{x-1} + 1)^2$$ $$2x+1 = 4(x-1) + 4\sqrt{x-1} + 1$$ $$2x+1 = 4x - 4 + 4\sqrt{x-1} + 1$$ $$2x+1 = 4x - 3 + 4\sqrt{x-1}$$ Изолируем корень в одной части: $$4\sqrt{x-1} = 4 - 2x$$ Разделим обе части на 2: $$2\sqrt{x-1} = 2 - x$$ Левая часть неотрицательна, значит, должно выполняться условие: $$2 - x \ge 0 \iff x \le 2$$ С учётом ОДЗ переменная должна удовлетворять промежутку $x \in [1; 2]$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $$4(x-1) = (2-x)^2$$ $$4x - 4 = 4 - 4x + x^2$$ $$x^2 - 8x + 8 = 0$$ Найдём корни через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 64 - 32 = 32 = (4\sqrt{2})^2$$ $$x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{2}$$ Проверим корни на соответствие условию $x \in [1; 2]$: * $x_1 = 4 + 2\sqrt{2} > 2$ — посторонний корень; * $x_2 = 4 - 2\sqrt{2} \approx 4 - 2{,}83 = 1{,}17 \in [1; 2]$ — корень уравнения. Ответ: $4 - 2\sqrt{2}$. --- **б)** Решим уравнение: $$2\sqrt{3x+7} = 3\sqrt{2x+2} + 2$$ ОДЗ: $$\begin{cases} 3x+7 \ge 0 \\ 2x+2 \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -\dfrac{7}{3} \\ x \ge -1 \end{cases} \iff x \ge -1$$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(2\sqrt{3x+7})^2 = (3\sqrt{2x+2} + 2)^2$$ $$4(3x+7) = 9(2x+2) + 12\sqrt{2x+2} + 4$$ $$12x + 28 = 18x + 18 + 12\sqrt{2x+2} + 4$$ $$12x + 28 = 18x + 22 + 12\sqrt{2x+2}$$ Изолируем корень: $$12\sqrt{2x+2} = 6 - 6x$$ Разделим обе части на 6: $$2\sqrt{2x+2} = 1 - x$$ Левая часть неотрицательна, следовательно: $$1 - x \ge 0 \iff x \le 1$$ С учётом ОДЗ получаем: $x \in [-1; 1]$. Возведём обе части в квадрат: $$4(2x+2) = (1-x)^2$$ $$8x + 8 = 1 - 2x + x^2$$ $$x^2 - 10x - 7 = 0$$ Найдём корни через дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 100 + 28 = 128 = (8\sqrt{2})^2$$ $$x_{1, 2} = \frac{10 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 4\sqrt{2}$$ Проверим условие $x \in [-1; 1]$: * $x_1 = 5 + 4\sqrt{2} > 1$ — посторонний корень; * $x_2 = 5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 5{,}66 = -0{,}66 \in [-1; 1]$ — корень уравнения. Ответ: $5 - 4\sqrt{2}$. --- **в)** Решим уравнение: $$\sqrt{6x-3} - 2\sqrt{x} = 1$$ Перенесём слагаемое $-2\sqrt{x}$ в правую часть: $$\sqrt{6x-3} = 2\sqrt{x} + 1$$ ОДЗ: $$\begin{cases} 6x-3 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge \dfrac{1}{2} \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \ge \frac{1}{2}$$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(\sqrt{6x-3})^2 = (2\sqrt{x} + 1)^2$$ $$6x - 3 = 4x + 4\sqrt{x} + 1$$ Изолируем корень: $$4\sqrt{x} = 2x - 4$$ Разделим обе части на 2: $$2\sqrt{x} = x - 2$$ Правая часть должна быть неотрицательной: $$x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$$ С учётом ОДЗ получаем условие: $x \ge 2$. Возведём обе части в квадрат: $$4x = (x-2)^2$$ $$4x = x^2 - 4x + 4$$ $$x^2 - 8x + 4 = 0$$ Найдём корни через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 = (4\sqrt{3})^2$$ $$x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$$ Проверим условие $x \ge 2$: * $x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \approx 4 + 3{,}46 = 7{,}46 \ge 2$ — подходит; * $x_2 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3{,}46 = 0{,}54 < 2$ — посторонний корень. Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$. --- **г)** Решим уравнение: $$\sqrt{2x-1} - \sqrt{x} = 1$$ Перенесём слагаемое $-\sqrt{x}$ в правую часть: $$\sqrt{2x-1} = \sqrt{x} + 1$$ ОДЗ: $$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x \ge 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge \dfrac{1}{2} \\ x \ge 0 \end{cases} \iff x \ge \frac{1}{2}$$ Обе части уравнения неотрицательны, возведём их в квадрат: $$(\sqrt{2x-1})^2 = (\sqrt{x} + 1)^2$$ $$2x - 1 = x + 2\sqrt{x} + 1$$ Изолируем корень: $$2\sqrt{x} = x - 2$$ Правая часть должна быть неотрицательной: $$x - 2 \ge 0 \iff x \ge 2$$ С учётом ОДЗ получаем условие: $x \ge 2$. Возведём обе части в квадрат: $$4x = (x-2)^2$$ $$4x = x^2 - 4x + 4$$ $$x^2 - 8x + 4 = 0$$ Найдём корни через дискриминант: $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 64 - 16 = 48 = (4\sqrt{3})^2$$ $$x_{1, 2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}$$ Проверим условие $x \ge 2$: * $x_1 = 4 + 2\sqrt{3} \ge 2$ — подходит; * $x_2 = 4 - 2\sqrt{3} < 2$ — посторонний корень. Ответ: $4 + 2\sqrt{3}$.