ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 58

**Общее геометрическое правило:** График функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ симметричным (зеркальным) отображением относительно оси абсцисс $Ox$. --- ### а) $y = x^3$ и $y = -x^3$ 1. **Функция $y = x^3$ (кубическая парабола):** * Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. * Функция нечётная, график симметричен относительно начала координат $(0; 0)$ и возрастает на всей области определения. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = x^3$ | $-8$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $8$ | 2. **Функция $y = -x^3$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = x^3$ относительно оси $Ox$. * Функция нечётная, строго убывает на всей числовой прямой. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = -x^3$ | $8$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-8$ | Графики пересекаются в единственной точке $(0; 0)$. --- ### б) $y = x^4$ и $y = -x^4$ 1. **Функция $y = x^4$:** * Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. * Функция чётная, её график симметричен относительно оси $Oy$, ветви направлены вверх. В окрестности нуля график более пологий, чем у обычной параболы $y = x^2$, а при $|x| > 1$ возрастает круче. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = x^4$ | $16$ | $1$ | $0$ | $1$ | $16$ | 2. **Функция $y = -x^4$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = x^4$ относительно оси $Ox$. * Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$. * Ветви направлены вниз. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = -x^4$ | $-16$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-16$ | Графики соприкасаются вершинами в точке $(0; 0)$. --- ### в) $y = 3^x$ и $y = -3^x$ 1. **Функция $y = 3^x$ (показательная):** * Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, область значений: $E(y) = (0; +\infty)$. * Функция монотонно возрастает на всей числовой прямой, так как основание $3 > 1$. * Ось $Ox$ (прямая $y = 0$) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = 3^x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | 2. **Функция $y = -3^x$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = 3^x$ относительно оси $Ox$. * Область значений: $E(y) = (-\infty; 0)$. * Функция монотонно убывает на всей области определения. * Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. * Контрольные точки: | $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = -3^x$ | $-\frac{1}{9}$ | $-\frac{1}{3}$ | $-1$ | $-3$ | $-9$ | Графики не пересекаются и расположены по разные стороны от оси $Ox$. --- ### г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$ Заметим, что по свойствам логарифма: $$ -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_3 x $$ 1. **Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$:** * Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$, область значений: $E(y) = \mathbb{R}$. * Функция монотонно убывает, так как основание $0 < \frac{1}{3} < 1$. * Ось $Oy$ (прямая $x = 0$) является вертикальной асимптотой. * Контрольные точки: | $x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $-2$ | 2. **Функция $y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_3 x$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Ox$. * Функция монотонно возрастает. * Контрольные точки: | $x$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{1}{3}$ | $1$ | $3$ | $9$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | Графики пересекаются в точке $(1; 0)$. --- ### д) $y = \sin x$ и $y = -\sin x$ 1. **Функция $y = \sin x$ (синусоида):** * Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$, область значений: $E(y) = [-1; 1]$. * Периодическая функция с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. * Нечётная функция: $\sin(-x) = -\sin x$. * Ключевые точки одного периода $[0; 2\pi]$: * $(0; 0)$ — нуль функции; * $\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)$ — максимум; * $(\pi; 0)$ — нуль функции; * $\left(\frac{3\pi}{2}; -1\right)$ — минимум; * $(2\pi; 0)$ — нуль функции. 2. **Функция $y = -\sin x$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = \sin x$ относительно оси $Ox$. В силу нечётности синуса: $-\sin x = \sin(-x)$. * Область значений: $E(y) = [-1; 1]$, период $T = 2\pi$. * Ключевые точки одного периода $[0; 2\pi]$: * $(0; 0)$ — нуль функции; * $\left(\frac{\pi}{2}; -1\right)$ — минимум; * $(\pi; 0)$ — нуль функции; * $\left(\frac{3\pi}{2}; 1\right)$ — максимум; * $(2\pi; 0)$ — нуль функции. Графики пересекаются во всех нулях функции: $(\pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$. --- ### е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -\operatorname{tg} x$ 1. **Функция $y = \operatorname{tg} x$ (тангенсоида):** * Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Область значений: $E(y) = \mathbb{R}$. * Период: $T = \pi$. Вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Функция возрастает на каждом интервале области определения. * Контрольные точки на основном периоде $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$: * $\left(-\frac{\pi}{4}; -1\right)$; * $(0; 0)$; * $\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$. 2. **Функция $y = -\operatorname{tg} x$:** * Получается зеркальным отражением графика $y = \operatorname{tg} x$ относительно оси $Ox$. В силу нечётности: $-\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(-x)$. * Имеет те же вертикальные асимптоты: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}$. * Функция убывает на каждом интервале области определения. * Контрольные точки на периоде $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$: * $\left(-\frac{\pi}{4}; 1\right)$; * $(0; 0)$; * $\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$. Графики пересекаются во всех точках вида $(\pi k; 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.