ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 52

При исследовании функции $y = f(x)$ для наиболее полного описания её свойств и построения графика обычно отвечают на следующие вопросы: 1. **Какова область определения функции?** Находят множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение $f(x)$ имеет смысл (обозначается $D(f)$), а также определяют точки разрыва функции, если они есть. 2. **Обладает ли функция свойствами симметрии или периодичности?** Выясняют, является ли функция: - чётной ($f(-x) = f(x)$ — график симметричен относительно оси $Oy$); - нечётной ($f(-x) = -f(x)$ — график симметричен относительно начала координат); - периодической (существует ли такое число $T \neq 0$, что $f(x + T) = f(x)$). 3. **В каких точках график функции пересекает оси координат?** - Пересечение с осью ординат ($Oy$): вычисляют $f(0)$, если точка $x = 0$ входит в область определения. - Пересечение с осью абсцисс ($Ox$): находят нули функции, решая уравнение $f(x) = 0$. 4. **Каковы промежутки знакопостоянства функции?** Определяют интервалы, на которых функция сохраняет постоянный знак: $f(x) > 0$ (график выше оси $Ox$) и $f(x) < 0$ (график ниже оси $Ox$). 5. **На каких промежутках функция возрастает, а на каких убывает?** С помощью производной $f'(x)$ находят промежутки монотонности: - если $f'(x) > 0$ на интервале, то функция возрастает на нём; - если $f'(x) < 0$ на интервале, то функция убывает на нём. 6. **Имеет ли функция точки экстремума и каковы её экстремумы?** Находят критические точки (точки из области определения, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует), проверяют смену знака производной при переходе через них, определяют точки минимума и максимума ($x_{\min}$, $x_{\max}$), а также вычисляют значения функции в этих точках ($y_{\min}$, $y_{\max}$). 7. **Как ведёт себя функция вблизи точек разрыва и на бесконечности (имеются ли асимптоты графика)?** Исследуют пределы функции при приближении к границам области определения и при $x \to +\infty$, $x \to -\infty$; находят вертикальные, горизонтальные или наклонные асимптоты. 8. **На каких промежутках график является выпуклым вверх или вниз, есть ли точки перегиба?** *(Для углублённого уровня)* С помощью второй производной $f''(x)$ определяют промежутки выпуклости/вогнутости и точки, в которых меняется характер выпуклости. 9. **Каково множество значений функции?** Определяют множество всех значений $y$, которые принимает функция (обозначается $E(f)$).