ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 45

Графиком функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ при $a \neq 0$ является парабола с вершиной в точке $(x_0; y_0)$. При $a = 0$ функция принимает вид $y = y_0$ (постоянная функция, которая не является возрастающей или убывающей). Исследуем монотонность функции по определению. Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные точки из области определения такие, что $x_1 < x_2$, то есть $x_2 - x_1 > 0$. Составим разность значений функции: $$ f(x_2) - f(x_1) = \bigl(a(x_2 - x_0)^2 + y_0\bigr) - \bigl(a(x_1 - x_0)^2 + y_0\bigr) $$ $$ f(x_2) - f(x_1) = a\bigl((x_2 - x_0)^2 - (x_1 - x_0)^2\bigr) = a(x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2x_0) $$ Так как $x_2 - x_1 > 0$, знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ определяется знаками множителей $a$ и $(x_1 + x_2 - 2x_0)$. 1. Для промежутка $[x_0; +\infty)$: Так как $x_2 > x_1 \ge x_0$, то $x_1 + x_2 > 2x_0$, следовательно, $x_1 + x_2 - 2x_0 > 0$. Значит, знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ совпадает со знаком коэффициента $a$: - если $a > 0$, то $f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1)$ (функция возрастает); - если $a < 0$, то $f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$ (функция убывает). 2. Для промежутка $(-\infty; x_0]$: Так как $x_1 < x_2 \le x_0$, то $x_1 + x_2 < 2x_0$, следовательно, $x_1 + x_2 - 2x_0 < 0$. Значит, знак разности $f(x_2) - f(x_1)$ противоположен знаку коэффициента $a$: - если $a < 0$, то $f(x_2) - f(x_1) > 0 \implies f(x_2) > f(x_1)$ (функция возрастает); - если $a > 0$, то $f(x_2) - f(x_1) < 0 \implies f(x_2) < f(x_1)$ (функция убывает). На основе проведенного исследования получаем ответы для каждого пункта: а) Функция является возрастающей на промежутке $[x_0; +\infty)$ при $a > 0$. б) Функция является убывающей на промежутке $[x_0; +\infty)$ при $a < 0$. в) Функция является возрастающей на промежутке $(-\infty; x_0]$ при $a < 0$. г) Функция является убывающей на промежутке $(-\infty; x_0]$ при $a > 0$. **Ответ:** а) $a > 0$; б) $a < 0$; в) $a < 0$; г) $a > 0$.