ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Базовый и углубленный уровень номер / § 1 - 33

Для построения графиков функций с модулем используются два основных геометрических преобразования: 1. График функции вида $y = |f(x)|$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: часть графика, расположенная выше оси $Ox$ или на ней, сохраняется без изменений, а часть, лежащая ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$ вверх. 2. График функции вида $y = f(|x|)$ получается из графика $y = f(x)$ следующим образом: часть графика при $x \ge 0$ сохраняется без изменений и симметрично отображается относительно оси $Oy$ в область $x < 0$. Сама функция при этом является чётной, а её график симметричен относительно оси ординат. --- ### а) $y = |\sin x|$ 1. **Преобразование:** график функции вида $y = |f(x)|$. Строим стандартную синусоиду $y = \sin x$. Части волн, расположенные ниже оси $Ox$ (на промежутках вида $(\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), зеркально отображаем вверх относительно оси $Ox$. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Множество значений: $E(y) = [0; 1]$. - Функция является чётной: $$ |\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| $$ - Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. - График состоит из одинаковых волн («арок»), лежащих в верхней полуплоскости и касающихся оси $Ox$ в точках нулей: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Максимумы равны $1$ и достигаются в точках: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ --- ### б) $y = |\cos x|$ 1. **Преобразование:** график функции вида $y = |f(x)|$. Строим косинусоиду $y = \cos x$. Части графика, лежащие ниже оси $Ox$ (на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$), зеркально отображаем вверх относительно оси $Ox$. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Множество значений: $E(y) = [0; 1]$. - Функция является чётной: $$ |\cos(-x)| = |\cos x| $$ - Функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$. - График представляет собой ту же цепочку волн («арок»), что и для $y = |\sin x|$, но со сдвигом на $\frac{\pi}{2}$ влево. Нули функции: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ Максимумы равны $1$ и достигаются в точках $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$. --- ### в) $y = |\operatorname{tg} x|$ 1. **Преобразование:** график вида $y = |f(x)|$. Строим ветви тангенсоиды $y = \operatorname{tg} x$. Участки каждой ветви, лежащие ниже оси $Ox$ (где $\operatorname{tg} x < 0$), зеркально отражаем вверх. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $$ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. - Функция является чётной: $$ |\operatorname{tg}(-x)| = |-\operatorname{tg} x| = |\operatorname{tg} x| $$ - Функция периодическая с периодом $T = \pi$. - Вертикальные асимптоты: $$ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - На каждом промежутке $(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{2} + \pi k)$ график имеет форму симметричной ветви с изломом (точкой минимума) в точке $(\pi k; 0)$, обе стороны которой бесконечно возрастают к соответствующим вертикальным асимптотам. --- ### г) $y = |\operatorname{ctg} x|$ 1. **Преобразование:** график вида $y = |f(x)|$. Строим котангенсоиду $y = \operatorname{ctg} x$. Части ветвей, расположенные ниже оси $Ox$, симметрично отражаем вверх. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $$ x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - Множество значений: $E(y) = [0; +\infty)$. - Функция является чётной: $$ |\operatorname{ctg}(-x)| = |-\operatorname{ctg} x| = |\operatorname{ctg} x| $$ - Периодическая с периодом $T = \pi$. - Вертикальные асимптоты: $$ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - На каждом интервале $(\pi k; \pi + \pi k)$ график образует $U$-образную (с изломом) кривую с минимумом в точке $(\frac{\pi}{2} + \pi k; 0)$, уходящую вверх к $+\infty$ вдоль асимптот $x = \pi k$ и $x = \pi (k+1)$. --- ### д) $y = \sin |x|$ 1. **Преобразование:** график вида $y = f(|x|)$. При $x \ge 0$ строим график $y = \sin x$. Затем эту правую часть зеркально отражаем относительно оси $Oy$ в область $x < 0$. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Множество значений: $E(y) = [-1; 1]$. - Функция является чётной: $$ \sin|-x| = \sin|x| $$ - Функция **не является** периодической на всей числовой прямой, так как в начале координат периодичность нарушается. - При $x \ge 0$: обычная синусоида, выходящая из точки $(0; 0)$ вверх. При $x < 0$: её зеркальное отражение (также выходит из $(0; 0)$ вверх при движении влево, то есть $\sin |x| = -\sin x$ при $x < 0$). В точке $(0; 0)$ график имеет излом («уголок»). --- ### е) $y = \cos |x|$ 1. **Преобразование:** поскольку функция косинус сама по себе является чётной ($\cos(-x) = \cos x$), то по определению модуля для всех $x \in \mathbb{R}$: $$ \cos|x| = \cos x $$ 2. **Свойства и описание графика:** - График полностью совпадает с обычной косинусоидой $y = \cos x$. - Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$. - Множество значений: $E(y) = [-1; 1]$. - Функция чётная, периодическая с периодом $T = 2\pi$. --- ### ж) $y = \operatorname{tg} |x|$ 1. **Преобразование:** график вида $y = f(|x|)$. Строим график функции $y = \operatorname{tg} x$ при $x \ge 0$ и симметрично отображаем его относительно оси $Oy$ в область $x < 0$. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $$ x \neq \pm \frac{\pi}{2} + \pi k \quad (k \in \mathbb{Z}, \text{ где } |x| \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \ge 0) $$ - Множество значений: $E(y) = \mathbb{R}$. - Функция чётная: $$ \operatorname{tg}|-x| = \operatorname{tg}|x| $$ - Функция **не является** периодической из-за нарушения периодичности в нуле. - В точке $(0; 0)$ график имеет излом: при приближении к нулю с обеих сторон ветви уходят вверх от точки $(0; 0)$. Асимптоты расположены симметрично относительно оси $Oy$: $$ x = \pm \frac{\pi}{2}, \; \pm \frac{3\pi}{2}, \; \dots $$ --- ### з) $y = \operatorname{ctg} |x|$ 1. **Преобразование:** график вида $y = f(|x|)$. Строим график котангенса $y = \operatorname{ctg} x$ для $x > 0$ и симметрично отображаем его влево относительно оси $Oy$. 2. **Свойства и описание графика:** - Область определения: $$ x \neq \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ - Множество значений: $E(y) = \mathbb{R}$. - Функция чётная: $$ \operatorname{ctg}|-x| = \operatorname{ctg}|x| $$ - Функция **не является** периодической на всей числовой прямой. - Ось $Oy$ ($x = 0$) является двусторонней вертикальной асимптотой: при $x \to 0$ как справа, так и слева значения функции стремятся к $+\infty$. Отрезки графиков в полосах между асимптотами $x = \pi k$ зеркально повторяют друг друга относительно оси $Oy$.