ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 773

**773.** 1) Используем формулу косинуса двойного угла в виде формулы понижения степени: $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$. Получаем: $$ \frac{1 + \cos 2\alpha}{2 \cos \alpha} = \frac{2\cos^2 \alpha}{2 \cos \alpha} = \cos \alpha $$ **Ответ:** $\cos \alpha$ --- 2) Выразим тангенс через синус и косинус ($\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$) и вынесем $\sin \alpha$ за скобки в числителе и знаменателе: $$ \frac{\operatorname{tg} \alpha - \sin \alpha}{\operatorname{tg} \alpha + \sin \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \sin \alpha}{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \sin \alpha} = \frac{\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right)}{\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha} + 1\right)} $$ Сократим дробь на $\sin \alpha$ и приведем выражения в скобках к общему знаменателю: $$ \frac{\frac{1 - \cos \alpha}{\cos \alpha}}{\frac{1 + \cos \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $$ Применим формулы половинного угла $1 - \cos \alpha = 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$ и $1 + \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2}$: $$ \frac{2\sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2\cos^2 \frac{\alpha}{2}} = \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} $$ **Ответ:** $\operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}$ --- 3) Сгруппируем крайние слагаемые в числителе и знаменателе: $$ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha} = \frac{(\sin 5\alpha + \sin \alpha) + \sin 3\alpha}{(\cos 5\alpha + \cos \alpha) + \cos 3\alpha} $$ Применим формулы суммы синусов и суммы косинусов: * $\sin 5\alpha + \sin \alpha = 2\sin \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2\sin 3\alpha \cos 2\alpha$ * $\cos 5\alpha + \cos \alpha = 2\cos \frac{5\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - \alpha}{2} = 2\cos 3\alpha \cos 2\alpha$ Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{2\sin 3\alpha \cos 2\alpha + \sin 3\alpha}{2\cos 3\alpha \cos 2\alpha + \cos 3\alpha} $$ Вынесем общий множитель $\sin 3\alpha$ в числителе и $\cos 3\alpha$ в знаменателе: $$ \frac{\sin 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)}{\cos 3\alpha (2\cos 2\alpha + 1)} = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \operatorname{tg} 3\alpha $$ **Ответ:** $\operatorname{tg} 3\alpha$ --- 4) Разложим $\sin 4\alpha$ по формуле синуса двойного угла: $\sin 4\alpha = 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$. Подставим в исходное выражение: $$ \frac{2 \sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2 \sin 2\alpha - \sin 4\alpha} = \frac{2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2\sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha} $$ Вынесем общий множитель $2\sin 2\alpha$ в числителе и знаменателе и сократим на него: $$ \frac{2\sin 2\alpha (1 + \cos 2\alpha)}{2\sin 2\alpha (1 - \cos 2\alpha)} = \frac{1 + \cos 2\alpha}{1 - \cos 2\alpha} $$ Используем формулы $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ и $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$: $$ \frac{2\cos^2 \alpha}{2\sin^2 \alpha} = \operatorname{ctg}^2 \alpha $$ **Ответ:** $\operatorname{ctg}^2 \alpha$