ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 700

1) Докажем, что при любом натуральном $n$ выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5, используя метод математической индукции. **База индукции:** При $n = 1$: $$6 \cdot 1^5 - 11 \cdot 1 = 6 - 11 = -5$$ Число $-5$ делится на 5 ($-5 = 5 \cdot (-1)$). База индукции верна. **Индукционный переход:** Предположим, что утверждение верно для $n = k$, то есть выражение $6k^5 - 11k$ делится на 5 при некотором натуральном $k$. Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть выражение $6(k + 1)^5 - 11(k + 1)$ делится на 5. Используем формулу бинома Ньютона для пятой степени: $$(k + 1)^5 = k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1$$ Подставим и преобразуем выражение: $$6(k + 1)^5 - 11(k + 1) = 6(k^5 + 5k^4 + 10k^3 + 10k^2 + 5k + 1) - 11k - 11$$ Раскроем скобки: $$= 6k^5 + 30k^4 + 60k^3 + 60k^2 + 30k + 6 - 11k - 11$$ Сгруппируем слагаемые: $$= (6k^5 - 11k) + (30k^4 + 60k^3 + 60k^2 + 30k - 5)$$ Вынесем 5 за скобки во второй группе: $$= (6k^5 - 11k) + 5(6k^4 + 12k^3 + 12k^2 + 6k - 1)$$ Первое слагаемое $(6k^5 - 11k)$ делится на 5 по предположению индукции. Второе слагаемое $5(6k^4 + 12k^3 + 12k^2 + 6k - 1)$ содержит множитель 5 и также делится на 5 при любом натуральном $k$. Значит, их сумма делится на 5. Индукционный переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции выражение $6n^5 - 11n$ делится на 5 при любом натуральном $n$. --- 2) Докажем, что при любом натуральном $n$ выражение $n^7 - n$ делится на 7, используя метод математической индукции. **База индукции:** При $n = 1$: $$1^7 - 1 = 1 - 1 = 0$$ Число 0 делится на любое натуральное число, в том числе на 7 ($0 = 7 \cdot 0$). База индукции верна. **Индукционный переход:** Предположим, что утверждение верно для $n = k$, то есть выражение $k^7 - k$ делится на 7 при некотором натуральном $k$. Докажем, что утверждение верно для $n = k + 1$, то есть выражение $(k + 1)^7 - (k + 1)$ делится на 7. Используем формулу бинома Ньютона для седьмой степени: $$(k + 1)^7 = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1$$ Подставим и преобразуем выражение: $$(k + 1)^7 - (k + 1) = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1 - k - 1$$ Сгруппируем слагаемые: $$= (k^7 - k) + (7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k)$$ Вынесем 7 за скобки во второй группе: $$= (k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$$ Первое слагаемое $(k^7 - k)$ делится на 7 по предположению индукции. Второе слагаемое $7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$ содержит множитель 7, где выражение в скобках — целое число, следовательно, оно также делится на 7. Значит, их сумма делится на 7. Индукционный переход доказан. Следовательно, по методу математической индукции выражение $n^7 - n$ делится на 7 при любом натуральном $n$.