ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень вопросы к главе - 5

1. Комбинаторика занимается решением задач на подсчёт числа различных соединений (комбинаций), составленных из элементов некоторого (обычно конечного) множества по заданным правилам, а также задач выбора и расположения элементов. 2. **Правило произведения:** если некоторый элемент $A$ можно выбрать $m$ различными способами, а после каждого такого выбора другой элемент $B$ можно выбрать $n$ способами, то пару элементов $(A, B)$ в указанном порядке можно выбрать $m \cdot n$ способами. Если выбор производится последовательно из нескольких множеств, то правило обобщается: число способов составить упорядоченный набор $(A_1, A_2, \dots, A_k)$, где первый элемент выбирается $n_1$ способами, второй — $n_2$ способами и так далее до $k$-го элемента, выбираемого $n_k$ способами, равно произведению $$ n_1 \cdot n_2 \cdot \dots \cdot n_k $$ 3. **Размещениями с повторениями** из $m$ элементов по $n$ называют упорядоченные соединения длины $n$, составленные из элементов $m$-элементного множества, в которых элементы могут повторяться. Число размещений с повторениями из $m$ элементов по $n$ обозначается $\overline{A}_m^n$ и вычисляется по формуле: $$ \overline{A}_m^n = m^n $$ 4. **Перестановками** (без повторений) из $n$ элементов называют соединения, каждое из которых содержит все данные $n$ различных элементов и которые отличаются друг от друга только порядком их расположения. Число перестановок из $n$ элементов обозначается $P_n$ и вычисляется по формуле: $$ P_n = n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n $$ При этом принимается, что $0! = 1$. 5. **Размещениями** (без повторений) из $m$ элементов по $n$ ($n \leqslant m$) называют упорядоченные соединения, содержащие по $n$ различных элементов, выбранных из данных $m$ различных элементов; они отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения. Число размещений без повторений из $m$ элементов по $n$ обозначается $A_m^n$ и вычисляется по формуле: $$ A_m^n = m(m - 1)(m - 2)\dots(m - n + 1) = \frac{m!}{(m - n)!} $$ 6. **Сочетаниями** (без повторений) из $m$ элементов по $n$ ($n \leqslant m$) называют неупорядоченные соединения, содержащие по $n$ различных элементов, выбранных из данных $m$ различных элементов; они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом (порядок расположения элементов роли не играет). Число сочетаний без повторений из $m$ элементов по $n$ обозначается $C_m^n$ и вычисляется по формуле: $$ C_m^n = \frac{A_m^n}{P_n} = \frac{m!}{n!(m - n)!} $$ 7. **Свойства сочетаний без повторений:** - Свойство симметрии: $$ C_m^n = C_m^{m-n} $$ - Основное рекуррентное свойство: $$ C_m^n + C_m^{n+1} = C_{m+1}^{n+1} \quad \text{или} \quad C_{m-1}^{n-1} + C_{m-1}^n = C_m^n $$ - Крайние значения: $$ C_m^0 = 1, \quad C_m^m = 1 $$ - Сумма всех биномиальных коэффициентов степени $m$: $$ C_m^0 + C_m^1 + C_m^2 + \dots + C_m^m = 2^m $$ 8. **Треугольник Паскаля** — это бесконечная числовая таблица треугольной формы, по боковым сторонам которой стоят единицы, а каждое число внутри таблицы равно сумме двух чисел, расположенных непосредственно над ним в предшествующей строке. Строка с номером $m$ (нумерация начинается с нуля) содержит биномиальные коэффициенты: $$ C_m^0, \quad C_m^1, \quad C_m^2, \quad \dots, \quad C_m^m $$ 9. **Формула бинома Ньютона:** Для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$: $$ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^{n-1} ab^{n-1} + C_n^n b^n $$ Или в сокращённом виде с использованием знака суммы: $$ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k $$