ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 46

1) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \cos \dfrac{x}{2}, \\ y = -x^2 + 6x - 8. \end{cases} $$ Число решений системы равно числу точек пересечения графиков функций $y = \cos \dfrac{x}{2}$ и $y = -x^2 + 6x - 8$, то есть числу корней уравнения: $$ \cos \dfrac{x}{2} = -x^2 + 6x - 8. $$ Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат: $$ -x^2 + 6x - 8 = -(x^2 - 6x + 9) + 1 = 1 - (x - 3)^2. $$ График функции $g(x) = 1 - (x - 3)^2$ — это парабола с вершиной в точке $(3; 1)$, ветви которой направлены вниз. Так как для косинуса справедливо неравенство $|\cos \frac{x}{2}| \le 1$, точки пересечения возможны только при тех $x$, для которых: $$ -1 \le 1 - (x - 3)^2 \le 1. $$ Неравенство $1 - (x - 3)^2 \le 1$ выполняется при всех $x$, а равенство достигается только при $x = 3$. Проверим значение косинуса при $x = 3$: $$ \cos \dfrac{3}{2} \ne 1 \quad \left(\text{так как } \dfrac{3}{2} \text{ рад } \approx 86^\circ \text{ и } \cos \dfrac{3}{2} \approx 0,07\right). $$ Значит, в вершине параболы графики не пересекаются. Неравенство $1 - (x - 3)^2 \ge -1$ равносильно: $$ (x - 3)^2 \le 2 \iff 3 - \sqrt{2} \le x \le 3 + \sqrt{2}. $$ Поскольку $\sqrt{2} \approx 1,41$, все возможные точки пересечения лежат на отрезке $[3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}] \approx [1,59; 4,41]$. Определим количество корней на этом отрезке: 1. При $x \in [1,59; 3]$ парабола $g(x)$ строго возрастает от $-1$ до $1$. Аргумент косинуса $\frac{x}{2} \in [0,8; 1,5] \subset \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, поэтому функция $f(x) = \cos \frac{x}{2}$ на этом отрезке строго убывает. В точке $x = 2$: $$ g(2) = -(2)^2 + 6 \cdot 2 - 8 = 0, \quad f(2) = \cos 1 > 0 \implies f(2) > g(2). $$ В точке $x = 3$: $$ g(3) = 1, \quad f(3) = \cos 1,5 \approx 0,07 \implies f(3) < g(3). $$ В силу противоположной монотонности функций $f(x)$ и $g(x)$ на отрезке $[2; 3]$ существует ровно одна точка пересечения. При $x \in [1,59; 2)$ имеем $g(x) < 0$, а $f(x) > 0$, поэтому корней нет. 2. При $x \in [3; 3 + \sqrt{2}]$ обе функции убывают. В точке $x = 3$: $g(3) = 1 > f(3) \approx 0,07$. В точке $x = 4$: $g(4) = 0$, $f(4) = \cos 2 < 0 \implies g(4) > f(4)$. В точке $x = 3 + \sqrt{2} \approx 4,41$: $$ g(3 + \sqrt{2}) = -1, \quad f(3 + \sqrt{2}) = \cos\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2} \approx \cos 2,2 \approx -0,59 > -1. $$ Здесь $g(3 + \sqrt{2}) < f(3 + \sqrt{2})$. Так как парабола убывает значительно быстрее косинуса (при $x > 3,5$ производная разности $g'(x) - f'(x) < 0$), графики пересекаются на интервале $(4; 3 + \sqrt{2})$ ровно один раз. Следовательно, система имеет 2 решения. Ответ к пункту 1: 2 решения. --- 2) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} y = \cos x, \\ y = \log_7 x. \end{cases} $$ Область определения логарифмической функции: $x > 0$. Приравняем правые части: $$ \log_7 x = \cos x. $$ Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то решения могут существовать только при условии: $$ -1 \le \log_7 x \le 1 \iff 7^{-1} \le x \le 7^1 \iff \dfrac{1}{7} \le x \le 7. $$ Исследуем наличие корней на промежутках внутри отрезка $\left[\dfrac{1}{7}; 7\right]$: 1. Промежуток $\left[\dfrac{1}{7}; \dfrac{\pi}{2}\right]$ (где $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$): * Функция $y = \log_7 x$ строго возрастает. * Функция $y = \cos x$ на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ строго убывает. * При $x = 1$: $\log_7 1 = 0$, а $\cos 1 > 0$, то есть $\log_7 1 < \cos 1$. * При $x = \dfrac{\pi}{2}$: $\cos \dfrac{\pi}{2} = 0$, а $\log_7 \dfrac{\pi}{2} > \log_7 1 = 0$, то есть $\log_7 \dfrac{\pi}{2} > \cos \dfrac{\pi}{2}$. В силу строгой монотонности на интервале $\left(1; \dfrac{\pi}{2}\right)$ существует ровно 1 корень. 2. Промежуток $\left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]$ (где $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$): * Для всех $x \ge \dfrac{\pi}{2} > 1$ значение $\log_7 x > 0$. * При $x \in \left[\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{3\pi}{2}\right]$ косинус неположителен: $\cos x \le 0$. Значит, $\log_7 x > \cos x$ на всём промежутке, и точек пересечения здесь нет. 3. Промежуток $\left(\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi\right)$ (где $2\pi \approx 6,28$): * В точке $x = \dfrac{3\pi}{2}$: $\cos \dfrac{3\pi}{2} = 0$, а $\log_7 \dfrac{3\pi}{2} > 0 \implies \cos \dfrac{3\pi}{2} < \log_7 \dfrac{3\pi}{2}$. * В точке $x = 2\pi$: $\cos 2\pi = 1$, а так как $2\pi < 7$, то $\log_7 (2\pi) < \log_7 7 = 1 \implies \cos 2\pi > \log_7(2\pi)$. Непрерывная функция $h(x) = \cos x - \log_7 x$ меняет знак с минуса на плюс. Учитывая, что скорость роста косинуса на этом участке превосходит скорость роста логарифма ($\cos' x = -\sin x > \frac{1}{x \ln 7}$), здесь существует ровно 1 корень. 4. Промежуток $[2\pi; 7]$: * В точке $x = 2\pi$: $\cos 2\pi = 1 > \log_7(2\pi)$. * В точке $x = 7$: $\log_7 7 = 1$, а $\cos 7 \approx 0,75 < 1 \implies \cos 7 < \log_7 7$. * На отрезке $[2\pi; 7]$ косинус строго убывает (так как $7 < 2\pi + \frac{\pi}{2} \approx 7,85$), а логарифм строго возрастает. Следовательно, на отрезке $[2\pi; 7]$ существует ровно 1 корень. При $x > 7$ имеем $\log_7 x > 1 \ge \cos x$, поэтому других корней нет. Всего получаем: $1 + 0 + 1 + 1 = 3$ корня. Ответ к пункту 2: 3 решения.