ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 445

Для вычисления числа сочетаний воспользуемся формулой $$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$ и свойством $C_n^k = C_n^{n-k}$. 1) $C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$ 2) $C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$ 3) Применим свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2 = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$ 4) Применим свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3 = 56$ 5) По формуле числа сочетаний: $C_9^1 = \frac{9!}{1!(9-1)!} = \frac{9!}{1! \cdot 8!} = 9$ 6) Применим свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1 = 9$ 7) По свойству $C_n^n = 1$: $C_{10}^{10} = \frac{10!}{10!(10-10)!} = \frac{10!}{10! \cdot 0!} = \frac{1}{1} = 1$ (так как $0! = 1$) 8) По свойству $C_n^0 = 1$: $C_{10}^0 = \frac{10!}{0!(10-0)!} = \frac{10!}{0! \cdot 10!} = 1$ 9) $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ 10) Применим свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3 = 120$ 11) Применим свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$: $C_{100}^{98} = C_{100}^{100-98} = C_{100}^2 = \frac{100!}{2! \cdot 98!} = \frac{100 \cdot 99}{2 \cdot 1} = 50 \cdot 99 = 4950$ 12) $C_{70}^2 = \frac{70!}{2!(70-2)!} = \frac{70!}{2! \cdot 68!} = \frac{70 \cdot 69}{2 \cdot 1} = 35 \cdot 69 = 2415$ **Ответ:** 1) 15; 2) 56; 3) 28; 4) 56; 5) 9; 6) 9; 7) 1; 8) 1; 9) 120; 10) 120; 11) 4950; 12) 2415.