ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 243

1) $f(x) = \cos x \sin x, \quad x_0 = \frac{\pi}{6}$ Преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $$ f(x) = \frac{1}{2}\sin 2x $$ Найдем производную функции по правилу дифференцирования сложной функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)' = \frac{1}{2} \cdot \cos 2x \cdot (2x)' = \frac{1}{2} \cdot \cos 2x \cdot 2 = \cos 2x $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $$ f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$. --- 2) $f(x) = e^x \ln x, \quad x_0 = 1$ Применим правило дифференцирования произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$: $$ f'(x) = (e^x)' \cdot \ln x + e^x \cdot (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x} = e^x\left(\ln x + \frac{1}{x}\right) $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $$ f'(1) = e^1 \cdot \left(\ln 1 + \frac{1}{1}\right) = e \cdot (0 + 1) = e $$ Ответ: $e$. --- 3) $f(x) = \frac{2\cos x}{\sin x}, \quad x_0 = \frac{\pi}{4}$ Заметим, что $\frac{\cos x}{\sin x} = \operatorname{ctg} x$, тогда: $$ f(x) = 2\operatorname{ctg} x $$ Найдем производную функции: $$ f'(x) = (2\operatorname{ctg} x)' = 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{2}{\sin^2 x} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$: $$ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{4}} = -\frac{2}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = -\frac{2}{\frac{2}{4}} = -\frac{2}{\frac{1}{2}} = -4 $$ Ответ: $-4$. --- 4) $f(x) = \frac{x}{1 + e^x}, \quad x_0 = 0$ Применим правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$ f'(x) = \frac{(x)'(1 + e^x) - x(1 + e^x)'}{(1 + e^x)^2} = \frac{1 \cdot (1 + e^x) - x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} = \frac{1 + e^x - xe^x}{(1 + e^x)^2} $$ Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$: $$ f'(0) = \frac{1 + e^0 - 0 \cdot e^0}{(1 + e^0)^2} = \frac{1 + 1 - 0}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Ответ: $\frac{1}{2}$.