ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 156

Разностным отношением функции $f(x)$ называют отношение приращения функции $\Delta f$ к приращению аргумента $\Delta x$ ($\Delta x \neq 0$): $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} $$ 1) $f(x) = 4x$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = 4(x + \Delta x) - 4x = 4x + 4\Delta x - 4x = 4\Delta x $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{4\Delta x}{\Delta x} = 4 $$ Ответ: $4$. 2) $f(x) = x - 1$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (x + \Delta x - 1) - (x - 1) = x + \Delta x - 1 - x + 1 = \Delta x $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x}{\Delta x} = 1 $$ Ответ: $1$. 3) $f(x) = 4x^2$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = 4(x + \Delta x)^2 - 4x^2 = 4(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) - 4x^2 = 8x\Delta x + 4(\Delta x)^2 $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{8x\Delta x + 4(\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(8x + 4\Delta x)}{\Delta x} = 8x + 4\Delta x $$ Ответ: $8x + 4\Delta x$. 4) $f(x) = x^2 + 2$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^2 + 2) - (x^2 + 2) = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 2 - x^2 - 2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x)}{\Delta x} = 2x + \Delta x $$ Ответ: $2x + \Delta x$. 5) $f(x) = x^3 - x^2$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = ((x + \Delta x)^3 - (x + \Delta x)^2) - (x^3 - x^2) $$ Раскроем скобки: $$ (x + \Delta x)^3 = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 $$ $$ (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 $$ Тогда: $$ \Delta f = x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 - x^3 + x^2 = 3x^2\Delta x - 2x\Delta x + 3x(\Delta x)^2 - (\Delta x)^2 + (\Delta x)^3 $$ Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки: $$ \Delta f = \Delta x \cdot (3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2) $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot (3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2)}{\Delta x} = 3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2 $$ Ответ: $3x^2 - 2x + (3x - 1)\Delta x + (\Delta x)^2$. 6) $f(x) = 2x^3 + x$ Найдем приращение функции: $$ \Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = (2(x + \Delta x)^3 + (x + \Delta x)) - (2x^3 + x) $$ Раскроем скобки: $$ 2(x + \Delta x)^3 = 2(x^3 + 3x^2\Delta x + 3x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3) = 2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 $$ Тогда: $$ \Delta f = 2x^3 + 6x^2\Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 + x + \Delta x - 2x^3 - x = 6x^2\Delta x + \Delta x + 6x(\Delta x)^2 + 2(\Delta x)^3 $$ Вынесем общий множитель $\Delta x$ за скобки: $$ \Delta f = \Delta x \cdot (6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2) $$ Составим разностное отношение: $$ \frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x \cdot (6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2)}{\Delta x} = 6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2 $$ Ответ: $6x^2 + 1 + 6x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.