ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин Базовый и углубленный уровень упражнение - 1114

1. Проверим, что точки $A$ и $B$ принадлежат параболе $y = 0,5x^2 - 2x + 2$: при $x = 1$: $$ y(1) = 0,5 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 0,5 = \frac{1}{2} $$ при $x = 4$: $$ y(4) = 0,5 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 2 = 8 - 8 + 2 = 2 $$ Следовательно, $A$ и $B$ — точки касания. 2. Составим уравнения касательных к параболе в этих точках. Найдем производную функции: $$ y' = (0,5x^2 - 2x + 2)' = x - 2 $$ Уравнение касательной в точке $A\left(1; \frac{1}{2}\right)$: $$ k_1 = y'(1) = 1 - 2 = -1 $$ $$ y = y(1) + y'(1)(x - 1) $$ $$ y = 0,5 - 1(x - 1) = -x + 1,5 $$ Уравнение касательной в точке $B(4; 2)$: $$ k_2 = y'(4) = 4 - 2 = 2 $$ $$ y = y(4) + y'(4)(x - 4) $$ $$ y = 2 + 2(x - 4) = 2x - 6 $$ 3. Найдем абсциссу точки пересечения касательных: $$ -x + 1,5 = 2x - 6 $$ $$ -3x = -7,5 \implies x = 2,5 $$ 4. Фигура ограничена сверху параболой, а снизу — касательными: — на отрезке $[1; 2,5]$ параболой и первой касательной $y = -x + 1,5$; — на отрезке $[2,5; 4]$ параболой и второй касательной $y = 2x - 6$. Площадь фигуры $S$ равна сумме двух площадей: $$ S = S_1 + S_2 = \int_{1}^{2,5} \bigl((0,5x^2 - 2x + 2) - (-x + 1,5)\bigr) \, dx + \int_{2,5}^{4} \bigl((0,5x^2 - 2x + 2) - (2x - 6)\bigr) \, dx $$ Вычислим каждый интеграл: $$ S_1 = \int_{1}^{2,5} (0,5x^2 - x + 0,5) \, dx = 0,5 \int_{1}^{2,5} (x - 1)^2 \, dx = \left[ \frac{0,5(x - 1)^3}{3} \right]_1^{2,5} = \frac{1}{6} (2,5 - 1)^3 - 0 = \frac{1}{6} \cdot (1,5)^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{16} $$ $$ S_2 = \int_{2,5}^{4} (0,5x^2 - 4x + 8) \, dx = 0,5 \int_{2,5}^{4} (x - 4)^2 \, dx = \left[ \frac{0,5(x - 4)^3}{3} \right]_{2,5}^4 = 0 - \frac{1}{6} (2,5 - 4)^3 = -\frac{1}{6} (-1,5)^3 = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{16} $$ 5. Найдем общую площадь: $$ S = \frac{9}{16} + \frac{9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8} = 1\frac{1}{8} = 1,125 $$ Ответ: $1\frac{1}{8}$ (или $1,125$).