ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 7 - 7.7

### 1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - x\right)' = x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) $$ 2. Найдём критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $$ (x - 1)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1,\; x_2 = 1 $$ 3. Определим знаки производной на полученных интервалах методом интервалов: - на интервале $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(-1; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = -1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, $x = -1$ — точка максимума. При переходе через точку $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, $x = 1$ — точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -1$, $x_{\min} = 1$. --- ### 2) $f(x) = 4x - \frac{1}{3}x^3$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \left(4x - \frac{1}{3}x^3\right)' = 4 - x^2 = (2 - x)(2 + x) $$ 2. Найдём критические точки: $$ 4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = -2,\; x_2 = 2 $$ 3. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(-2; 2)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(2; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», значит, $x = -2$ — точка минимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x = 2$ — точка максимума. Ответ: $x_{\min} = -2$, $x_{\max} = 2$. --- ### 3) $f(x) = -x^2 + 4x - 3$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (-x^2 + 4x - 3)' = -2x + 4 = -2(x - 2) $$ 2. Найдём критическую точку: $$ -2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 $$ 3. Определим знаки производной: - при $x < 2$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x > 2$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, это точка максимума. Точек минимума у функции нет. Ответ: $x_{\max} = 2$, точек минимума нет. --- ### 4) $f(x) = \frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 7x + 4\right)' = x^2 + 6x - 7 $$ 2. Найдём критические точки: $$ x^2 + 6x - 7 = 0 $$ По теореме Виета: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$. Разложим производную на множители: $$ f'(x) = (x + 7)(x - 1) $$ 3. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; -7)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(-7; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. В точке $x = -7$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$» — это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$» — это точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -7$, $x_{\min} = 1$. --- ### 5) $f(x) = 2x^4 - 4x^3 + 2$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (2x^4 - 4x^3 + 2)' = 8x^3 - 12x^2 = 4x^2(2x - 3) $$ 2. Найдём критические точки: $$ 4x^2(2x - 3) = 0 \implies x_1 = 0,\; x_2 = 1{,}5 $$ 3. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(0; 1{,}5)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(1{,}5; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает. При переходе через точку $x = 0$ знак производной не меняется, значит, $x = 0$ не является точкой экстремума. При переходе через точку $x = 1{,}5$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, это точка минимума. Точек максимума нет. Ответ: $x_{\min} = 1{,}5$, точек максимума нет. --- ### 6) $f(x) = 2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4$ Область определения функции: $D(f) = \mathbb{R}$. 1. Найдём производную функции: $$ f'(x) = (2 + x^2 + 2x^3 - 2x^4)' = 2x + 6x^2 - 8x^3 = -2x(4x^2 - 3x - 1) $$ 2. Найдём корни квадратного трёхчлена $4x^2 - 3x - 1 = 0$: $$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x = \frac{3 \pm 5}{8} \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -0{,}25 $$ Тогда производную можно записать в виде: $$ f'(x) = -8x(x - 1)(x + 0{,}25) $$ Критические точки: $x_1 = -0{,}25$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$. 3. Определим знаки производной на интервалах: - на интервале $(-\infty; -0{,}25)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(-0{,}25; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - на интервале $(0; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - на интервале $(1; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. В точках $x = -0{,}25$ и $x = 1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», следовательно, это точки максимума. В точке $x = 0$ производная меняет знак с «$-$» на «$+$», следовательно, это точка минимума. Ответ: $x_{\max} = -0{,}25$, $x_{\max} = 1$, $x_{\min} = 0$.