ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 7 - 7.22

**1)** $f(x) = x^2 \sqrt{1 - x}$ 1. Область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $1 - x \ge 0 \implies x \le 1$. $D(f) = (-\infty; 1]$. 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования произведения при $x < 1$: $$ f'(x) = (x^2)' \cdot \sqrt{1 - x} + x^2 \cdot (\sqrt{1 - x})' = 2x\sqrt{1 - x} + x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1 - x}} $$ Приведём к общему знаменателю: $$ f'(x) = \frac{4x(1 - x) - x^2}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{4x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{4x - 5x^2}{2\sqrt{1 - x}} = \frac{x(4 - 5x)}{2\sqrt{1 - x}} $$ 3. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies x(4 - 5x) = 0 \implies x_1 = 0$, $x_2 = 0{,}8$. Обе точки принадлежат интервалу $(-\infty; 1)$. При $x = 1$ производная не существует. 4. Определим знаки производной на интервалах из области определения (знаменатель $2\sqrt{1 - x} > 0$ при всех $x < 1$): - при $x \in (-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает; - при $x \in (0; 0{,}8)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x \in (0{,}8; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. Так как функция непрерывна на всей области определения, граничные точки включаются в промежутки монотонности: - функция возрастает на отрезке $[0; 0{,}8]$; - функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[0{,}8; 1]$. В точке $x = 0$ знак производной меняется с «$-$» на «$+$», значит, $x_{\min} = 0$. В точке $x = 0{,}8$ знак производной меняется с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\max} = 0{,}8$. **Ответ к п. 1:** возрастает на $[0; 0{,}8]$; убывает на $(-\infty; 0]$ и $[0{,}8; 1]$; $x_{\min} = 0$, $x_{\max} = 0{,}8$. --- **2)** $f(x) = (1 - x)\sqrt{x}$ 1. Область определения функции: $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. 2. Найдём производную функции при $x > 0$: $$ f'(x) = (1 - x)' \cdot \sqrt{x} + (1 - x) \cdot (\sqrt{x})' = -1 \cdot \sqrt{x} + (1 - x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Приведём к общему знаменателю: $$ f'(x) = \frac{-2x + 1 - x}{2\sqrt{x}} = \frac{1 - 3x}{2\sqrt{x}} $$ 3. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 1 - 3x = 0 \implies x = \frac{1}{3}$. Точка принадлежит промежутку $(0; +\infty)$. При $x = 0$ производная не существует. 4. Определим знаки производной (знаменатель $2\sqrt{x} > 0$ при $x > 0$): - при $x \in \left(0; \frac{1}{3}\right)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x \in \left(\frac{1}{3}; +\infty\right)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. С учётом непрерывности функции в точке $x = 0$: - функция возрастает на отрезке $\left[0; \frac{1}{3}\right]$; - функция убывает на промежутке $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\max} = \frac{1}{3}$. **Ответ к п. 2:** возрастает на $\left[0; \frac{1}{3}\right]$; убывает на $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$; $x_{\max} = \frac{1}{3}$. --- **3)** $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ 1. Область определения функции: подкоренное выражение $x \ge 0$, а знаменатель $x + 1 \neq 0$, что выполняется для всех $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$. 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного при $x > 0$: $$ f'(x) = \frac{(\sqrt{x})'(x + 1) - \sqrt{x}(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x + 1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x + 1)^2} $$ Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x}$: $$ f'(x) = \frac{(x + 1) - 2x}{2\sqrt{x}(x + 1)^2} = \frac{1 - x}{2\sqrt{x}(x + 1)^2} $$ 3. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 1 - x = 0 \implies x = 1$. Точка входит в интервал $(0; +\infty)$. При $x = 0$ производная не существует. 4. Определим знаки производной (знаменатель $2\sqrt{x}(x + 1)^2 > 0$ при всех $x > 0$): - при $x \in (0; 1)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. С учётом непрерывности функции при $x = 0$: - функция возрастает на отрезке $[0; 1]$; - функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\max} = 1$. **Ответ к п. 3:** возрастает на $[0; 1]$; убывает на $[1; +\infty)$; $x_{\max} = 1$. --- **4)** $f(x) = \frac{2x - 7}{\sqrt{3 - x}}$ 1. Область определения функции: подкоренное выражение строго больше нуля, так как корень стоит в знаменателе: $3 - x > 0 \implies x < 3$. $D(f) = (-\infty; 3)$. 2. Найдём производную функции по правилу дифференцирования частного: $$ f'(x) = \frac{(2x - 7)' \cdot \sqrt{3 - x} - (2x - 7) \cdot (\sqrt{3 - x})'}{(\sqrt{3 - x})^2} = \frac{2\sqrt{3 - x} - (2x - 7) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3 - x}}}{3 - x} $$ Приведём числитель к общему знаменателю: $$ f'(x) = \frac{\frac{2 \cdot 2(3 - x) + (2x - 7)}{2\sqrt{3 - x}}}{3 - x} = \frac{4(3 - x) + 2x - 7}{2(3 - x)\sqrt{3 - x}} = \frac{12 - 4x + 2x - 7}{2(3 - x)^{\frac{3}{2}}} = \frac{5 - 2x}{2(3 - x)\sqrt{3 - x}} $$ 3. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 5 - 2x = 0 \implies x = 2{,}5$. Точка принадлежит области определения $(-\infty; 3)$. 4. Определим знаки производной (знаменатель $2(3 - x)\sqrt{3 - x} > 0$ при всех $x < 3$): - при $x \in (-\infty; 2{,}5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает; - при $x \in (2{,}5; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает. С учётом непрерывности функции на всей области определения: - функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2{,}5]$; - функция убывает на полуинтервале $[2{,}5; 3)$. В точке $x = 2{,}5$ производная меняет знак с «$+$» на «$-$», значит, $x_{\max} = 2{,}5$. **Ответ к п. 4:** возрастает на $(-\infty; 2{,}5]$; убывает на $[2{,}5; 3)$; $x_{\max} = 2{,}5$.