ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень проверь себя. задание № - 6

### 1. Число делится на 9, если сумма его цифр кратна 9. Сумма известных цифр числа $1845*$: $$ 1 + 8 + 4 + 5 = 18 $$ Чтобы сумма $18 + *$ делилась на 9, вместо звёздочки можно поставить цифру 0 или 9. Число не делится на 6, если оно не делится хотя бы на один из его простых множителей: 2 или 3. Поскольку сумма цифр делится на 9, число уже делится на 3. Следовательно, оно не должно делиться на 2, то есть должно быть нечётным. Из цифр 0 и 9 нечётной является 9. **Ответ: Г** --- ### 2. Пусть количество туристов равно $x$. Поскольку туристов можно без остатка разместить в палатках по 4 человека или по 6 человек, число $x$ должно быть кратно как 4, так и 6, то есть кратно их наименьшему общему кратному: $$ \text{НОК}(4, 6) = 12 $$ По условию $40 < x < 50$. Среди чисел этого промежутка только число 48 делится на 12 ($12 \cdot 4 = 48$). **Ответ: Г** --- ### 3. Проверим условия делимости для предложенных чисел: 1. Число не должно делиться на 2 $\implies$ последняя цифра должна быть нечётной. Отпадает вариант Г (6228 оканчивается на 8). 2. Число не должно делиться на 5 $\implies$ последняя цифра не должна быть 0 или 5. Отпадает вариант В (7335 оканчивается на 5). 3. Число должно делиться на 3 $\implies$ сумма цифр должна быть кратна 3: * Для 3547: $3 + 5 + 4 + 7 = 19$ — не делится на 3. * Для 2601: $2 + 6 + 0 + 1 = 9$ — делится на 3. **Ответ: Б** --- ### 4. Упростим данное выражение: $$ (15n + 7) - (7n + 3) = 15n + 7 - 7n - 3 = 8n + 4 $$ При любом натуральном $n$ слагаемое $8n$ делится на 8 без остатка, следовательно, остаток от деления всего выражения на 8 равен 4. **Ответ: В** --- ### 5. Число должно быть кратно одновременно 3 и 5, то есть делиться на $\text{НОК}(3, 5) = 15$. Разделим 832 на 15 с остатком: $$ 832 = 15 \cdot 55 + 7 $$ Ближайшее большее число, кратное 15, равно: $$ 15 \cdot 56 = 840 $$ Найдём, какое число нужно прибавить к 832: $$ 840 - 832 = 8 $$ **Ответ: В** --- ### 6. Отношение количеств пирожков с мясом и с вишней равно $5 : 2$. Пусть на одну часть приходится $k$ пирожков ($k \in \mathbb{N}$). Тогда всего пирожков: $$ 5k + 2k = 7k $$ Общее количество пирожков должно быть кратно 7. Среди предложенных вариантов 15, 16, 21, 24 только число 21 делится на 7. **Ответ: В** --- ### 7. Проверим верность каждого равенства: * А) $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 7}{7 \cdot 7} = \frac{35}{49}$ — верно. * Б) $\frac{14}{24} = \frac{14 : 2}{24 : 2} = \frac{7}{12} \neq \frac{2}{3}$ — неверно (так как $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$). * В) $\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{56}{72}$ — верно. * Г) $\frac{36}{45} = \frac{36 : 9}{45 : 9} = \frac{4}{5}$ — верно. **Ответ: Б** --- ### 8. Сократим дробь: $$ \frac{15}{18} = \frac{15 : 3}{18 : 3} = \frac{5}{6} $$ Переведём границы промежутков в обыкновенные дроби со знаменателем 6 или сравним в десятичных приближениях: $\frac{5}{6} \approx 0,833...$ Так как $0,75 < 0,833... < 1$, число принадлежит промежутку $(0,75; 1)$. **Ответ: Г** --- ### 9. Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя. Всего дано 6 различных чисел: 2, 4, 5, 6, 7, 9. Из любой пары двух различных чисел можно составить ровно одну правильную дробь (меньшее число берется в числитель, большее — в знаменатель). Количество способов выбрать 2 различных числа из 6: $$ \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 $$ **Ответ: Б** --- ### 10. 1) Найдём $\frac{3}{7}$ числа 350: $$ 350 \cdot \frac{3}{7} = 50 \cdot 3 = 150 $$ 2) Найдём 0,12 числа 500: $$ 500 \cdot 0,12 = 60 $$ 3) Найдём разность полученных значений: $$ 150 - 60 = 90 $$ **Ответ: А** --- ### 11. Примем объём всей работы за 1. 1) Производительность первого рабочего равна $1 : 1 = 1$ задания в час. 2) Полтора часа — это $1,5 = \frac{3}{2}$ ч. Производительность второго рабочего равна: $$ 1 : \frac{3}{2} = \frac{2}{3} \text{ задания в час.} $$ 3) Совместная производительность рабочих: $$ 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \text{ задания в час.} $$ 4) Время, за которое они выполнят задание вместе: $$ 1 : \frac{5}{3} = \frac{3}{5} \text{ ч.} $$ Переведём часы в минуты: $$ \frac{3}{5} \cdot 60 = 36 \text{ мин.} $$ **Ответ: А** --- ### 12. Выделим целую часть у каждой дроби: * А) $\frac{2002}{2001} = 1 + \frac{1}{2001}$ * Б) $\frac{2003}{2002} = 1 + \frac{1}{2002}$ * В) $\frac{2004}{2003} = 1 + \frac{1}{2003}$ * Г) $\frac{2005}{2004} = 1 + \frac{1}{2004}$ Среди дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше: $$ \frac{1}{2001} > \frac{1}{2002} > \frac{1}{2003} > \frac{1}{2004} $$ Следовательно, наибольшим числом является $\frac{2002}{2001}$. **Ответ: А** --- ### 13. По условию $a$ — чётное натуральное число, $b$ — нечётное натуральное число. * А) $\frac{a-1}{b+1} = 1 \implies a - 1 = b + 1 \implies a - b = 2$. Разность чётного и нечётного чисел всегда нечётна, поэтому равенство нечётно = чётно невозможно. * Б) Произведение чётного и нечётного чисел всегда чётно, поэтому $ab = 35$ невозможно. * В) $\frac{a}{b} = 9 \implies a = 9b$. Произведение нечётных чисел 9 и $b$ нечётно, значит, чётное $a$ не может равняться нечётному $9b$. * Г) $\frac{a}{b} = 4 \implies a = 4b$. Произведение $4b$ чётно для любого нечётного $b$. Например, при $b = 1$ (нечётное) получаем $a = 4$ (чётное), тогда $\frac{4}{1} = 4$. **Ответ: Г** --- ### 14. Дано: $0 < a < 1$ и $b > 1$. * Так как $a > 0$ и $b > 1$, то $a + b > b > 1$. * Так как $a < 1$ и $b > 0$, то $ab < 1 \cdot b = b$. Следовательно, $a + b > ab$. * Так как $a < 1$, то $a^2 < a < 1 < a + b$. * Так как $a < 1$ и $b > 1$, то $\frac{a}{b} < \frac{1}{1} = 1 < a + b$. Таким образом, выражение $a + b$ больше всех остальных. **Ответ: В** --- ### 15. Чтобы произведение двух чисел было наименьшим, оно должно быть отрицательным и иметь как можно больший модуль. Для этого нужно перемножить отрицательное число с наибольшим модулем и положительное число с наибольшим значением: $$ (-9) \cdot 6 = -54 $$ **Ответ: А** --- ### 16. Дано: $a > 0$, $b < 0$. Рассмотрим выражение $a - b$: Так как $b < 0$, то $-b > 0$. Сумма двух положительных чисел $a + (-b) = a - b$ всегда строго больше нуля при любых допустимых $a$ и $b$. (Остальные выражения могут быть отрицательными, например: при $a = 2, b = -1$ выражение $b^2 - a^2 = 1 - 4 = -3 < 0$; $(b - a)^3$ всегда отрицательно, так как $b - a < 0$). **Ответ: Б** --- ### 17. Чтобы найти число по значению его дроби, нужно это значение разделить на дробь: $$ 105 : \frac{5}{7} = 105 \cdot \frac{7}{5} = 21 \cdot 7 = 147 \text{ км.} $$ **Ответ: В** --- ### 18. Сгруппируем слагаемые парами: $$ (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \ldots + (2009 - 2010) $$ Всего в выражении 2010 слагаемых, которые образуют: $$ 2010 : 2 = 1005 \text{ пар.} $$ Значение выражения в каждой паре равно: $$ 1 - 2 = 3 - 4 = \ldots = -1 $$ Вычислим сумму: $$ 1005 \cdot (-1) = -1005 $$ **Ответ: Б**