ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 4 - 4.13

1) Применим правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$: $$ y' = ((3x - 5)^6)' = 6(3x - 5)^5 \cdot (3x - 5)' = 6(3x - 5)^5 \cdot 3 = 18(3x - 5)^5 $$ 2) Дифференцируем как сложную степенную функцию: $$ y' = ((2x^2 - 3x + 4)^3)' = 3(2x^2 - 3x + 4)^2 \cdot (2x^2 - 3x + 4)' $$ Находим производную внутренней функции: $(2x^2 - 3x + 4)' = 4x - 3$. $$ y' = 3(4x - 3)(2x^2 - 3x + 4)^2 $$ 3) Используем формулу производной тригонометрической функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$: $$ y' = \left(\sin \frac{x}{3}\right)' = \cos \frac{x}{3} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \cos \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3} $$ 4) Дифференцируем внешнюю степенную функцию, а затем внутреннюю тригонометрическую: $$ y' = (\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (\cos x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x $$ По формуле синуса двойного угла: $$ y' = -\sin 2x $$ 5) Применим формулу $(\operatorname{tg} u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$: $$ y' = (2\operatorname{tg} 4x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2 4x} \cdot (4x)' = 2 \cdot \frac{4}{\cos^2 4x} = \frac{8}{\cos^2 4x} $$ 6) Находим производную сложной функции с учетом знака производной косинуса: $$ y' = \left(\cos \left( \frac{\pi}{4} - x \right)\right)' = -\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \cdot \left( \frac{\pi}{4} - x \right)' $$ Так как $\left( \frac{\pi}{4} - x \right)' = -1$, получаем: $$ y' = -\sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) \cdot (-1) = \sin \left( \frac{\pi}{4} - x \right) $$ 7) Используем формулу $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$ y' = (\sqrt{1 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)' = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} $$ 8) Представим корень в виде степени с дробным показателем: $y = (6x + 8)^{\frac{1}{4}}$. $$ y' = \left((6x + 8)^{\frac{1}{4}}\right)' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{\frac{1}{4} - 1} \cdot (6x + 8)' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-\frac{3}{4}} \cdot 6 $$ $$ y' = \frac{6}{4\sqrt[4]{(6x + 8)^3}} = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x + 8)^3}} $$ 9) Применяем правило дифференцирования степени с отрицательным показателем: $$ y' = ((9x - 2)^{-3})' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot (9x - 2)' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot 9 = -27(9x - 2)^{-4} = -\frac{27}{(9x - 2)^4} $$ 10) Используем формулу $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$: $$ y' = (\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)' = \frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}} = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}} $$