ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 3 - 3.22

По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной в этой точке: $$ k = f'(x_0) $$ **1)** $f(x) = x^3$, $k = 3$. Найдем производную функции: $$ f'(x) = (x^3)' = 3x^2 $$ Составим уравнение относительно $x_0$: $$ f'(x_0) = 3 $$ $$ 3x_0^2 = 3 $$ $$ x_0^2 = 1 $$ $$ x_0 = 1 \quad \text{или} \quad x_0 = -1 $$ Ответ: $x_0 = -1$; $x_0 = 1$. --- **2)** $f(x) = \sqrt{x}$, $k = \frac{1}{4}$. Область определения функции: $D(f) = [0; +\infty)$. Функция дифференцируема при $x > 0$. Найдем производную: $$ f'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$ Составим уравнение относительно $x_0$: $$ f'(x_0) = \frac{1}{4} $$ $$ \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{4} $$ $$ 2\sqrt{x_0} = 4 $$ $$ \sqrt{x_0} = 2 $$ $$ x_0 = 4 $$ Значение $x_0 = 4$ входит в область определения. Ответ: $x_0 = 4$. --- **3)** $f(x) = \frac{1}{x^2}$, $k = -\frac{1}{4}$. Область определения функции: $x \ne 0$. Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-2}$. Найдем производную: $$ f'(x) = (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} $$ Составим уравнение относительно $x_0$: $$ f'(x_0) = -\frac{1}{4} $$ $$ -\frac{2}{x_0^3} = -\frac{1}{4} $$ $$ \frac{2}{x_0^3} = \frac{1}{4} $$ $$ x_0^3 = 8 $$ $$ x_0 = 2 $$ Значение $x_0 = 2$ удовлетворяет условию $x_0 \ne 0$. Ответ: $x_0 = 2$. --- **4)** $f(x) = \sin x$, $k = 0$. Найдем производную: $$ f'(x) = (\sin x)' = \cos x $$ Составим уравнение относительно $x_0$: $$ f'(x_0) = 0 $$ $$ \cos x_0 = 0 $$ $$ x_0 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ Ответ: $x_0 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$.