ГДЗ по алгебре 11 класс Мерзляк Базовый уровень § 11 - 11.6

1) $6^{2x} - 3 \cdot 6^x - 18 = 0$ Заметим, что $6^{2x} = (6^x)^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 6^x$, причём $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ t^2 - 3t - 18 = 0 $$ Найдём корни по теореме Виета: $$ \begin{cases} t_1 + t_2 = 3 \\ t_1 \cdot t_2 = -18 \end{cases} $$ Отсюда: $t_1 = 6$, $t_2 = -3$. Условию $t > 0$ удовлетворяет только корень $t = 6$, так как показательная функция принимает исключительно положительные значения ($6^x > 0$ при любых действительных $x$, поэтому значение $t = -3$ постороннее). Вернёмся к замене: $$ 6^x = 6^1 $$ $$ x = 1 $$ Ответ: $1$. --- 2) $2 \cdot 4^x - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$ Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, перепишем уравнение в виде: $$ 2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0 $$ Введём замену переменной: пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $$ 2t^2 - 9t + 4 = 0 $$ Найдём дискриминант: $$ D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2 $$ Найдём корни уравнения: $$ t_1 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4 $$ $$ t_2 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$. Возвращаемся к замене: 1) $2^x = 4$ $$ 2^x = 2^2 $$ $$ x = 2 $$ 2) $2^x = \frac{1}{2}$ $$ 2^x = 2^{-1} $$ $$ x = -1 $$ Ответ: $-1; 2$.