ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Ершова самостоятельные и контрольные работы контрольные работы / К-9. вариант - А1

1. Найдите общий вид первообразных для функции: a) $f(x) = x^3 - \frac{2}{\sqrt{x}}$ Область определения функции: $x > 0$. Запишем функцию в виде суммы степенных функций: $$ f(x) = x^3 - 2x^{-\frac{1}{2}} $$ По правилам нахождения первообразных: $$ F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{x^4}{4} - 4\sqrt{x} + C $$ Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 4\sqrt{x} + C$. b) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 3 \sin x$ Используя формулы табличных первообразных: $$ F(x) = \operatorname{tg} x - 3(-\cos x) + C = \operatorname{tg} x + 3\cos x + C $$ Ответ: $F(x) = \operatorname{tg} x + 3\cos x + C$. --- 2. Для функции $f(x)$ найдите первообразную, график которой проходит через данную точку: a) $f(x) = 3x^2 - 4x + 2, \quad A(-1; 0)$ 1) Найдём общий вид первообразной: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + C = x^3 - 2x^2 + 2x + C $$ 2) Так как график проходит через точку $A(-1; 0)$, то $F(-1) = 0$: $$ (-1)^3 - 2(-1)^2 + 2(-1) + C = 0 $$ $$ -1 - 2 - 2 + C = 0 $$ $$ -5 + C = 0 \implies C = 5 $$ Ответ: $F(x) = x^3 - 2x^2 + 2x + 5$. b) $f(x) = \cos \frac{x}{2}, \quad A\left(\frac{\pi}{3}; 1\right)$ 1) Найдём общий вид первообразной (используя правило $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$): $$ F(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}} \sin \frac{x}{2} + C = 2\sin \frac{x}{2} + C $$ 2) Так как график проходит через точку $A\left(\frac{\pi}{3}; 1\right)$, то $F\left(\frac{\pi}{3}\right) = 1$: $$ 2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3}}{2}\right) + C = 1 $$ $$ 2\sin\frac{\pi}{6} + C = 1 $$ $$ 2 \cdot \frac{1}{2} + C = 1 $$ $$ 1 + C = 1 \implies C = 0 $$ Ответ: $F(x) = 2\sin \frac{x}{2}$. --- 3. Вычислите интеграл: a) $\int_{1}^{2} \left(2x - \frac{1}{x^2}\right) dx$ Найдём первообразную функции $f(x) = 2x - x^{-2}$: $$ F(x) = x^2 - \frac{x^{-1}}{-1} = x^2 + \frac{1}{x} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \left(2x - \frac{1}{x^2}\right) dx = \left.\left(x^2 + \frac{1}{x}\right)\right|_{1}^{2} = \left(2^2 + \frac{1}{2}\right) - \left(1^2 + \frac{1}{1}\right) = 4,5 - 2 = 2,5 $$ Ответ: $2,5$. б) $\int_{-2}^{0} (0,5x + 1)^5 dx$ Найдём первообразную функции $f(x) = (0,5x + 1)^5$: $$ F(x) = \frac{1}{0,5} \cdot \frac{(0,5x + 1)^6}{6} = 2 \cdot \frac{(0,5x + 1)^6}{6} = \frac{(0,5x + 1)^6}{3} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{-2}^{0} (0,5x + 1)^5 dx = \left.\left(\frac{(0,5x + 1)^6}{3}\right)\right|_{-2}^{0} = \frac{(0,5 \cdot 0 + 1)^6}{3} - \frac{(0,5 \cdot (-2) + 1)^6}{3} = \frac{1}{3} - \frac{0}{3} = \frac{1}{3} $$ Ответ: $\frac{1}{3}$. --- 4. Вычислите интеграл: a) $\int_{1}^{2} \left(3x^2 - \frac{2}{x^3}\right) dx$ Найдём первообразную функции $f(x) = 3x^2 - 2x^{-3}$: $$ F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = x^3 + \frac{1}{x^2} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{1}^{2} \left(3x^2 - \frac{2}{x^3}\right) dx = \left.\left(x^3 + \frac{1}{x^2}\right)\right|_{1}^{2} = \left(2^3 + \frac{1}{2^2}\right) - \left(1^3 + \frac{1}{1^2}\right) = \left(8 + \frac{1}{4}\right) - (1 + 1) = 8,25 - 2 = 6,25 $$ Ответ: $6,25$ (или $6\frac{1}{4}$). б) $\int_{-1}^{0} (2x + 1)^4 dx$ Найдём первообразную функции $f(x) = (2x + 1)^4$: $$ F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x + 1)^5}{5} = \frac{(2x + 1)^5}{10} $$ По формуле Ньютона — Лейбница: $$ \int_{-1}^{0} (2x + 1)^4 dx = \left.\left(\frac{(2x + 1)^5}{10}\right)\right|_{-1}^{0} = \frac{(2 \cdot 0 + 1)^5}{10} - \frac{(2 \cdot (-1) + 1)^5}{10} = \frac{1}{10} - \left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{2}{10} = 0,2 $$ Ответ: $0,2$ (или $\frac{1}{5}$). --- 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: Для пары линий $y = x^2 + 2$ и $y = 4 - x$: 1) Найдём абсциссы точек пересечения графиков: $$ x^2 + 2 = 4 - x $$ $$ x^2 + x - 2 = 0 $$ По теореме Виета: $$ x_1 = -2, \quad x_2 = 1 $$ 2) На отрезке $[-2; 1]$ прямая $y = 4 - x$ лежит выше параболы $y = x^2 + 2$ (например, при $x = 0$: $4 - 0 = 4 > 0^2 + 2 = 2$). 3) Вычислим площадь $S$: $$ S = \int_{-2}^{1} \left((4 - x) - (x^2 + 2)\right) dx = \int_{-2}^{1} \left(2 - x - x^2\right) dx $$ $$ S = \left.\left(2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\right|_{-2}^{1} $$ $$ F(1) = 2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} = 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{7}{6} $$ $$ F(-2) = 2 \cdot (-2) - \frac{(-2)^2}{2} - \frac{(-2)^3}{3} = -4 - 2 + \frac{8}{3} = -\frac{10}{3} = -\frac{20}{6} $$ $$ S = F(1) - F(-2) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{20}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 $$ Ответ: $4,5$. Для пары линий $y = x^2 + 2$ и $y = 4 + x$: 1) Найдём точки пересечения: $$ x^2 + 2 = 4 + x \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 2 $$ 2) Вычислим площадь $S$: $$ S = \int_{-1}^{2} \left((4 + x) - (x^2 + 2)\right) dx = \int_{-1}^{2} \left(2 + x - x^2\right) dx = \left.\left(2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right)\right|_{-1}^{2} $$ $$ F(2) = 4 + 2 - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} = \frac{20}{6} $$ $$ F(-1) = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6} $$ $$ S = F(2) - F(-1) = \frac{20}{6} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = 4,5 $$ Ответ: $4,5$. --- 5. Известно, что $\int_{a}^{b} f(x) dx = 2$. Найдите: 1) $2 \int_{a}^{a} f(x) dx + \int_{b}^{b} f(x) dx$ По свойству определённого интеграла с совпадающими пределами интегрирования $\int_{c}^{c} f(x) dx = 0$. Следовательно: $$ \int_{a}^{a} f(x) dx = 0, \quad \int_{b}^{b} f(x) dx = 0 $$ $$ 2 \int_{a}^{a} f(x) dx + \int_{b}^{b} f(x) dx = 2 \cdot 0 + 0 = 0 $$ *(Если в первом слагаемом верхний предел равен $b$, то есть $2 \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{b} f(x) dx$, то значение равно $2 \cdot 2 + 0 = 4$)*. Ответ: $0$ (или $4$, если верхний предел первого интеграла равен $b$). 2) $\int_{b}^{b} f(x) dx - 3 \int_{b}^{a} f(x) dx$ По свойствам определённого интеграла: $$ \int_{b}^{b} f(x) dx = 0 $$ $$ \int_{b}^{a} f(x) dx = -\int_{a}^{b} f(x) dx = -2 $$ Подставим полученные значения: $$ \int_{b}^{b} f(x) dx - 3 \int_{b}^{a} f(x) dx = 0 - 3 \cdot (-2) = 6 $$ Ответ: $6$.